Verified answer

Трапеция АВСD разделена прямой, параллельной её основаниям АD и ВС, на две равновеликие трапеции. Найдите отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, если основания трапеции равны  а и b.

Пусть данный отрезок КМ=х;

Примем высоту ВО трапеции КВСМ равной h1, высоту ОН трапеции КМDA равной h2

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований =>

 площадь (КВСМ)=h1•(a+x)/2

площадь (КМDA)=h2•(b+x)/2, 

По условию h1•(a+x)/2=h2•(b+x)/2, 

S(ABCD)=h1•(a+x)/2+h2•(b+x)/2=h1•(a+x) (сумма равных половин=целое) 

Высота S(ABCD) равна h1+h2

 S(ABCD)  равна (h1+h2)•(a+b)/2 

Составим из уравнений  систему. 

| h1•(a+x)=h2•(b+x)

| h1•(а+х)=(h1+h2)•(a+b)/2

Выразим из первого уравнения h1: 

 h1=h2•(b+x):(a+x) и  подставим найденное значение во второе уравнение:

h2•(b+x)=[(h2•(b+x)/(a+x))+h2]•(a+b)/2

После всех преобразований получим: 

2х²=а²+b², откуда 

х=√[(a²+b²):2]