Нехай дiйснi числа x,y i z задовольняють одночасно двi рiвностi: (x+y)(х ^2+ у^2...

July 2022 1 6 Report

Нехай дiйснi числа x,y i z
задовольняють одночасно двi рiвностi:
(x+y)(х ^2+ у^2+2z)=1
(х ^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2=1
Доведiть, що тодi виконується нерiвнiсть (у^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2 ≥ z
З’ясуйте, коли в цiй нерiвностi досягається рiвнiсть.

Answers & Comments

Матов

Verified answer

Сделаем замену
$x^2+z=a \\
 y^2+z=b 
$
тогда система
$a^2+z(x+y)^2=1 \\ 
 (x+y)(a+b)=1$
Надо доказать
$
 
 
 
 b^2+z(x+y)^2 \geq z
 
$
Из системы выразив $b;z$
Получим , что надо доказать
$\frac{ -2a(x+y)+(x+y)^2+1 }{(x+y)^2} \geq \frac{ (1-a^2) }{ (x+y)^2 } \\
 
$
$\frac{ (x+y-a)^2 }{ (x+y)^2 } \geq 0$
  что верно , так как квадрат не может быть отрицательным
   $(y^2+z)^2+z(x^2+z) = z \\
(x+y)(x^2+y^2+2z)=1 \\
(x^2+z)^2+z(x+y)^2=1$
$y=z=0\\
 x*(x^2)=1\\
 x=1$
  Равенство достигается при $x=1;y=z=0$
  В целых числах

0 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

tochki a 130 v0 1 2 s vershiny pryamougolnogo treugolnika avs najti skalya

1 najti naimenshee sostavnoe chislo n dlya kotorogo chislo 2 n 1 1 delitsya

chi mozhlivo troma hordami vidminnimi vid diametriv rozbiti krug na dekilka ri

na ploskosti 6 tochek nikakie tri ne lezhat na odnoj pryamojcherez kazhdye dve s

dlya kozhnogo naturalnogo chisla n znajdit usi taki pari naturalnih chisel x i y18a5017a857cab973ee8c6b141899839 58279

reshit 25h 2a5h a205208eca8f8911f8a027b7abf4aef84a5 91893

reshit 25h 2a5h a20

reshit 25h 2a5h a20 3 h 2

pershij marshrut bezpilotnij avtomobil dolaye za x hv a na drugij marshrut vitracha

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social