Объясните, почему именно такое решение задания: Докажите, что при неотрицательных значениях a и b верно неравенство (a+1)(b+1)(ab+1)>=8ab .
Решение: a + 1 ≥ 2√a
b + 1 ≥ 2√b
ab + 1 ≥ 2√ab
Почему именно так, объясните, пожалуйста!
Решение: a + 1 ≥ 2√a
b + 1 ≥ 2√b
ab + 1 ≥ 2√ab
Почему именно так, объясните, пожалуйста!
Answers & Comments
Verified answer
Если а и б- неотрицательны, то из них возможно вычислить квадратный корень, т.е. числа √a ,√b - существуют.Запишем верных неравенства:
(√a -1)²≥0 ( тоесть квадрат любой разности всегда неотрицателен)
(√b-1)²≥0- то же самое;
(√ab-1)²≥0 Все эти три неравенства- верные. т.к. слева- квадрат разности, и он всегда будет или 0 или больше чем0.
Раскроем скобки слева у всех неравенств, пользуясь формулой квадрат разности:
a-2√a+1≥0; - это в первом, b-2√b+1≥0- это второе и: ab-2√ab+1≥0-это третье неравенство.
Теперь перенесём слагаемое с корнем из левой части в правую, поменяв знак, во всех трёх этих неравенствах. Получим:
a+1≥2√a; b+1≥2√b; ab+1≥2√ab. Т.к. мы преобразовывали верные неравенства, то мы можем умножить их левые и правые части друг на друга и тогда мы получим:
(a+1)(b+1)(ab+1)≥(2√a)×(2√b)×(2√ab)- верное неравенство(потому что оно получено путём умножения трёх верных неравенств). Перемножим двойки и корни в правой части полученного неравенства, а левую часть перепишем как она была:
(a+1)(b+1)(ab+1)≥8ab. Что и требовалось доказать!