Вариант решения.
Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника.
Перпендикуляр ,опущенный с вершины прямоугольника к его диагонали - высота одного из таких треугольников.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится
гипотенуза этой высотой.

Высота этого треугольника
h²=4*25=100
h=10 см
Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание.
S=10*(4+25):2 - площадь половины прямоугольника
 S=10*(4+25)=290 cм² площадь прямоугольника. 

Verified answer

Чертеж во вложении.

Пусть ВН⊥АС.

∆АВН и ∆ВНС подобны, осюда ВН²=АН·НС

ВН² = 4·25=100

ВН=10

В ∆АВН по теореме Пифагора АВ²=АН²+ВН²

АВ²=4²+10²=116

АВ=2√29

В ∆ВНС по теореме Пифагора СВ²=СН²+ВН²

СВ²=25²+10²=725

СВ=5√29

Площадь прямоугольника S=АВ·ВС=2√29·5√29=290.