Петя придумал четыре различных натуральных числа, записал на доске все их попарные суммы, а строчкой ниже все их суммы по три. Оказалось, что сумма двух самых больших чисел верхнего ряда и двух самых маленьких чисел нижнего ряда (итого четырёх чисел) составляет 2017. Найдите наибольшее возможное значение суммы четырёх чисел, которые придумал Петя
Answers & Comments
1) по условию задача на верхней строчке будут числа
a+b , a+c , a+d , b+c , b+d , c+d
2) в нижней строчке
a+b+c , a+b+d , b+c+d , a+c+d
1) из верхней части доски максимальными числами являются числа a+b , a+c учитывая общность.
2) из нижней части минимальными числами являются a+c+d , b+c+d
Из условия следует что
{2a+b+c=2017
{2d+2c+a+b=2017
Выразив с системы переменные c и d
{с=2017-2a-b
{d=(3a+b-2017)/2
Требуется найти S=a+b+c+d=max
Подставляя c и d получим
S=(2017+a+b)/2 , то есть переходим к задаче , в которой надо максимизировать сумму a+b
Учитывая c>d , a>b>0
Получаем так же неравенства
{2017-2a-b > (3a+b-2017)/2
{a>b>0
Получаем решения два решения
{6051/7>a>6051/10, 0 { 0
Откуда можно получит два натуральных a=605 , b=604 значит c=203 , d=201
S=a+b+c+d=1209+404 = 1613