Множества A и B называются равномощными, если может быть установлено взаимно однозначное соответствие между элементами множества A и элементами множества B. (то есть каждому элементу множества A можно поставить в соответствие один и только один элемент множества B, а каждому элементу множества B можно поставить в соответствие один и только один элемент множества A.)
Покажем, что множества равномощны по теореме Кантора-Бернштейна, т.е. покажем, что найдется X₁⊆X такое, что X₁⇒Y, и найдется У₁ Y₁⊆Y такое, что Y₁⇒X . X₁=(1;3) Y₁=[-1;2]
установим биекцию f: X₁⇒Y такую что f(x)=x-1, очевидно что f(x)∈Y установим биекцию f: Y₁⇒X такую что f(y)=(3.5+y)/2, очевидно что f(y)∈X
Значит множества равномощны
Теорема Кантора – Бернштейна (первая формулировка). Если множество A равномощно некоторому подмножеству множества B, а множество B равномощно некоторому подмножеству множества A, то множества A и B равномощны.
Answers & Comments
Verified answer
Множества A и B называются равномощными, если может быть установлено взаимно однозначное соответствие между элементами множества A и элементами множества B.(то есть каждому элементу множества A можно поставить в соответствие один и только один элемент множества B, а каждому элементу множества B можно поставить в соответствие один и только один элемент множества A.)
Покажем, что множества равномощны по теореме Кантора-Бернштейна, т.е. покажем, что найдется X₁⊆X такое, что X₁⇒Y, и найдется У₁
Y₁⊆Y такое, что Y₁⇒X .
X₁=(1;3) Y₁=[-1;2]
установим биекцию
f: X₁⇒Y такую что f(x)=x-1, очевидно что f(x)∈Y
установим биекцию
f: Y₁⇒X такую что f(y)=(3.5+y)/2, очевидно что f(y)∈X
Значит множества равномощны
Теорема Кантора – Бернштейна (первая формулировка).
Если множество A равномощно некоторому подмножеству множества B, а множество B равномощно некоторому подмножеству множества A, то множества A и B равномощны.