101.

Да.

Пусть квадрат ABCD,  построим квадрат AHGE где H,E лежат на AD и AB соответственно,  со стороной AH=(√2-1)*AB, тогда в четырехугольники AHGE , DHGC,  GECB   можно вписать  окружность.  Так как    

DH=AB-AH=(2-√2)*AB и CG=DH*√2=(2-√2)*√2*AB  подставляя DH+CG=CD+HG  (условие вписанной окружности)  получаем верное утверждение.

102.

нет не существует.

 Последние четыре цифры, это остаток числа на 10000 , то есть

n^1996=10^4x+1996  

Остаток в правой части на 4,   10^4 делится на 4, а 1996 = 4 mod 8

Тогда  n^1996 = 4 mod 8

но  

при  n=2k число n^1996 = (2k)^1996 = 8*2^1993*k^1996 = 0 mod 8

при n=2k+1 число n^1996=(2k+1)^1996=8x+1^1996 = 1 mod 8

то есть n^1996 = 0, 1 mod 8  значит таких чисел n,x  нет.  

103.

 Видно решение (x,y)=(4,3) U (3,4)