kolobok1431 1.23(а)
Дано:
a+b+c = 2p
Доказать: 4b²c²-(b²+c²-a²)² = 16p(p-a)(p-b)(p-c)
Решение.
В левой части формула разности квадратов a² - b² = (a-b)(a+b)
Преобразуем левую часть 
4b²c²- (b²+c²-a²)² =
= (2bc)² - (b²+c²-a²)² = 
= (2bc - b²- c²+a²)·(2bc + b² + c² - a²) =
= (a² - (b² - 2bc + b²)·((b²+2bc+c²) -a²) = 
= (a² - (b-c)²)·((b+c)² - a²) = 
= (a - b + c)·(a + b - c)·(b+c-a)·(b+c+a) =
=  (а+c - b)·(a+b - c)·(b+c - a)(b+c+a)
А теперь в каждой из четырёх скобок будем производить замену с помощью данного равенства a+b+c = 2p.
1) Из равенства a+b+c = 2p получим 
a+c = 2p - b
2) Из равенства a+b+c = 2p получим 
a+b = 2p - c
3) Из равенства a+b+c = 2p получим 
b+c = 2p - a
Подставляем в каждую скобку соответствующее значение.
Получаем:
 (а+c - b)·(a+b - c)·(b+c - a)(b+c+a) =
= (2p - b -b)·(2p - c - c)·(2p - a - a)·(2p - a + a) = 
= (2p - 2b)·(2p-2c)·(2p-2a)·2p = 
= 2p ·2(p-b)·2(p-c)·2(p-a) = 
= 2p·2·2·2·(p-a)(p-b)(p-c) = 
= 16p(p-a)(p-b)(p-c)
Получили правую часть.