Основание четырехугольной пирамиды SABCD - ромб ABCD с длиной стороны 12 см и острым углом, градусная мера которого равна 60°. В пирамиду помещен цилиндр так, что одно основание его лежит в плоскости основания пирамиды, а окружность другого основания вписана в сечение пирамиды плоскостью, содержащей это основание. Вычислите объем цилиндра, если длина его высоты равна √3 см, а градусная мера наклона каждой боковой грани пирамиды к плоскости основания равна 45° Сделаем рисунок. Рассмотрим основание пирамиды. Т.к. все стороны ромба равны, а его острые углы равны 60°, треугольник АВD - равносторонний. ВD=АD=12 см О- точка пересечения диагоналей ромба, ОD=ВD:2=6 Угол ОDМ=60°. ОМ⊥АD и равна ОD*sin 60°=3√3 Грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°. Центр О основания цилиндра совпадает с точкой пересечения диагоналей основания. ОМ - перпендикуляр из О к АД, а SMO - линейный угол двугранного угла при основании. Образующая КН цилиндра равна его высоте, перпендикулярна основанию, следовательно, треугольник КНМ - прямоугольный равнобедренный, и МН=КН=√3. Тогда радиус цилиндра равен r=МО-МН=3√3-√3=2√3 Vcil=πr²*Н=π*(2√3)²*√3 =12π√3 см³
Answers & Comments
Verified answer
Основание четырехугольной пирамиды SABCD - ромб ABCD с длиной стороны 12 см и острым углом, градусная мера которого равна 60°.В пирамиду помещен цилиндр так, что одно основание его лежит в плоскости основания пирамиды, а окружность другого основания вписана в сечение пирамиды плоскостью, содержащей это основание. Вычислите объем цилиндра, если длина его высоты равна √3 см, а градусная мера наклона каждой боковой грани пирамиды к плоскости основания равна 45°
Сделаем рисунок.
Рассмотрим основание пирамиды.
Т.к. все стороны ромба равны, а его острые углы равны 60°, треугольник АВD - равносторонний.
ВD=АD=12 см
О- точка пересечения диагоналей ромба, ОD=ВD:2=6
Угол ОDМ=60°.
ОМ⊥АD и равна ОD*sin 60°=3√3
Грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°.
Центр О основания цилиндра совпадает с точкой пересечения диагоналей основания.
ОМ - перпендикуляр из О к АД, а SMO - линейный угол двугранного угла при основании.
Образующая КН цилиндра равна его высоте, перпендикулярна основанию, следовательно, треугольник КНМ - прямоугольный равнобедренный, и МН=КН=√3.
Тогда радиус цилиндра равен
r=МО-МН=3√3-√3=2√3
Vcil=πr²*Н=π*(2√3)²*√3 =12π√3 см³