4)а) найдем координаты векторов →АD, →АС, →АВ. для чего от координат конца вектора отнимем координаты начала. получим

→АD(2+3; -1+3; 0-4), →АD(1;2;4);→АС(4;3;-8); →АВ(3;6;0)

Найдем смешанное произведение →АВ*(→АСх→АD), для  чего найдем определитель третьего порядка

3  6  0

4  3 -8=

1  2 -4

=-36+0-48-(0-96-48)=60

Найдем модуль этого произведения и умножим на 1/6, получим 60/6=10

Ответ  10

5) составим уравнение плоскости АВС, как плоскости. проходящей через три точки. для чего определитель приравняем к нулю.

Определитель

х-х₁  у-у₁  z-z₁

х₂-х₁  у₂-у₁  z₂-z₁   =0

х₃-х₁ у₃-у ₁ z₃-z₁

В нашем случае

х+4  у+1  z

4      0    -3

4       4     -4=

(х+4)*(0+12)-(у+1)*(-16+12)+z* (16-0)=0

12х+4у+16z+52=0

3х+у+4z+13=0

Теперь подставим точки в это уравнение и проверим. принадлежат ли они этой плоскости.

3х+у+4z+13=0

3*(-4)-1+4*0+13=0⇒А(-4;-1;0) принадлежит плоскости АВС

3*0-1-3*4+13=0⇒В(-0;-1;-3) принадлежит плоскости АВС

3*0+3-4*4+13=0⇒С(-0;3;-4) принадлежит плоскости АВС

4б)

Уравнение плоскости ВСD, на которую опускаем высоту из вершины А, найдем аналогично 5)

х-0   у-3   z-4

1       -3      -8  =0

-2     -4      -4

x*(12-32)-(e-3)*(-4-16)+(z-4)*()-4-6=0

-20x+20y-10z-20=0

-2x+2y-z-2=0

Высоту найдем как расстояние от точки А(х₀;у₀;z₀) до плоскости ВСD

IA*x₀+B*y₀+C*z₀+DI/√( А²+В²+С²)=I-2*(-3)-2*3-1*4-2I/√( 4+4+1²=6/√9=6/3=2