Verified answer

Даны вершины треугольника А(2; 9), B(-6; -2), С(5; -2).

1) Находим векторы.

АВ = (-6-2; -2-9) = (-8; -11), модуль с = √((-8)² + (-11)²) = √185 ≈ 13,6015,

AC = (5-2; -2-9) = (3; -11, модуль b = √(3² + (-11)²) = √130 ≈ 11,4018.

BC = (5-(-6); -2-(-2) = (11; 0), модуль a = √(11² + 0²) = 11.

Уравнение АВ: (x - 2)/(-8) = (y - 9)/(-11)    каноническое,

                          -11х + 22 = -8у + 72,

                           11х - 8у + 50 = 0             общее,

                            у = (11/8)х + (50/8)         с угловым коэффициентом.

Уравнение АС: (x - 2)/3) = (y - 9)/(-11)    каноническое,

                          -11х + 22 = 3у - 22,

                           11х + 3у - 49 = 0             общее,

                            у = (-11/3)х + (49/3)         с угловым коэффициентом.

Уравнение ВС: (x + 6)/11 = (y + 2)/0    каноническое,

                           11у + 22 = 0             общее,

                            у = -2         с угловым коэффициентом, равным 0.

2)4) Находим координаты точки М как середину стороны АС.

М = (((2+5)/2); ((9-2)/2) = (3,5; 3,5).

Вектор ВМ = (3,5-(-6); 3,5-(-2) = (9,5; 5,5).

Уравнение ВМ: (х + 6)/9,5 = (у + 2)/5,5,

                          11х + 66 = 19у + 38,

                          11х - 19у + 28 = 0 общее,

                         у = (11/19)х - (28/19) с угловым коэффициентом.

Длина ВМ равна √(9,5² + 5,5²) = √(90,25 + 30,25) = √120,5 ≈ 10,9772.

3)5) Высота ВД как перпендикуляр к прямой АС: 11х + 3у - 49 = 0 в общем виде Ах + Ву + С = 0 имеет коэффициенты по сравнению  с АС, равными -В и А: -3х + 11у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки В:

-3*(-6) + 11*(-2) + С = 0, отсюда С = 22 - 18 = 4.

Получаем уравнение общего вида (с положительным коэффициентом при х: BD = 3х - 11у - 4 = 0.

Длину высоты ВД можно получить двумя способами:

а) найти по Герону площадь S, тогда h(BD) = 2S/AC.

б) найти координаты точки Д как точку пересечения прямой АС и высоты ВД, решив систему:

{AC: 11х + 3у - 49 = 0 |x(11) = 121x + 33y - 539 = 0

{BD: 3х - 11у - 4 = 0    |x(3) =     9x - 33y - 12 =0    

                                              130x          -551 = 0,

x = 551/130 ≈ 4,23846,

y = (49 - 11x)/3 = (49 - (11*551/130))/3 =(6370 -6061)/390 =

  =  309/390 = 103/130 ≈ 0,79231.

Точка D((551/130); (103/130)).

По разности координат находим BD = 10,6124.

6) Угол В:

  а) по теореме косинусов.

     cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac) = 176/299,2324 = 0,58817.  

B = arccos 0,58817 = 0,9420 радиан или 53,9726 градуса.

б) по векторам ВА и ВС.

   Вектор ВА = -АВ = (8; 11), модуль √185

   Вектор ВС = (11; 0), модуль 11.

cos B = (8*11 + 11*0)/(√185*11) = 8/√185 ≈ 0,58817.

В = B = arccos 0,58817 = 0,9420 радиан или 53,9726 градуса.