Ответ:

АС=2дм

Объяснение:

ДАНО: ∆АВС – остроугольный; АН и СК – высоты; АН=1дм, СК=2дм, угол между ними=60°

НАЙТИ: АС

=======================================

РЕШЕНИЕ: пусть высоты пересекаются в точке О, тогда ∠СОН=∠АОК=60°. Рассмотрим ∆СОН и ∆АОК.

Они прямоугольные, так как АН и СК – высоты, а также они подобны по двум углам: ∠СОН=∠АОК – по условию и ∠СНО=∠АКО=90°. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, значит

∠КСН=∠КАН=90–60=30°

Рассмотрим ∆СВК, он прямоугольный, ВК и СК – катеты, ВС – гипотенуза. Найдём ВС через косинус угла. Косинус угла – это отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе, поэтому:

Рассмотрим ∆АВН, он прямоугольный, АН и ВН – катеты, АВ – гипотенуза. Найдём АВ через косинус угла:

Из ∆СВК: ∠В=90–∠ВСК=90–30=60°

По теореме косинусов найдём АС:

АС²=ВС²+АВ²–2•ВС•АВ•cosB=

AC=√4=2(дм)