Verified answer

Ответ:

ОР = 20 ед.

Объяснение:

Дан куб A..D1с ребром 12√5. Точка Р делит диагональ B1D в отношении 1:2, считая от вершины В1. Точка М - середина ребра AD. Найдите длину отрезка РО, где О - точка пересечения прямых ВМ и АС.

Опустим перпендикуляр из точки Р на плоскость АВС . Точкка Т - проекция точки Р на диагональ основания BD (так как BD - проекция B1D на плоскость АВС).

РТ - перпендикуляр к плоскости, следовательно <PTO=90°

Точка Q - точка пересечения диагоналей основания (квадрата).

Треугольники B1DT и PDT подобны (так как РТ параллельна В1В) с коэффициентом подобия k = 2/3.

Из подобия имеем:

PT = ВВ1*k = 12√5*2/3 = 8√5.

DT = (2/3)*BD = (2/3)*12√10 = 8√10. (BD=AC= 12√10 - диагональ квадрата)

QT = DT - DQ = 8√10 - 6√10 = 2√10.

OQ = (1/3)*AT =  (1/3)*(1/2)*12√10 = 2√10 (точка О - точка пересечения медиан BM и AQ, которая делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины).

OT = √(OQ²+QT²) = √(40+40) =4√5.

OP = √(OT²+PT²) = √(80+320) = 20.