b = 2a · sin α/2 - третья сторона треугольника, лежащего в основании пирамиды

S = 0.5 a · a · sin α = 0.5a²·sinα - площадь основания

Проекцией бокового ребра на основание является радиус окружности, описанной вокруг основания

R = a · a · b/(4S) = a · a · 2a · sin α/2 : (4 · 0.5a²·sinα) = а/(2cos α/2)

h = √(a² - R²) = √(a² - a²/(4cos² α/2)) = a √(1 - 1/(4cos² α/2)) - высота пирамиды

Объём пирамиды равен V = 1/3  · S · h =

= 1/3 · 0.5a² · sin α  · a√(1 - 1/(4cos² α/2)) =

= a³ · 2 sin α/2 · cos α/2 · √(4cos² α/2 - 1) / (6 · 2 cos α/2) =

= a³/6 · sin α/2 · √(4cos² α/2 - 1)