ΔАВС, АВ=4√2 см , АС=1 см, sin∠ВАС=√2/2,
Тк sin α=√2/2 , то α=45°.
По т косинусов :
BС²=АВ²+AС²-2*АВ*ВС*cosA,
BС²=(4√2)²+1²-2*(4√2)*3*cos45° ,
BС²=32+1-8√2/(√2/2) ,
BС²=33-8 ,
BС²=25 ,
BC=5 .

Ответ:   ВС = 5 см  або  ВС = √41 см .

Объяснение:

Задача має два розв"язки , бо

1) sin45° = √2/2 ;                   2) sin135° = sin( 180° - 45° ) = sin45°= √2/2 .

У випадку 1)  сosA = cosα = + √ ( 1 - sin²α ) = √ ( 1 - ( √2/2)²) = √2/2 .

За Т. косинусів   ВС = √( АВ² + АС² - 2*АВ*АС* cosα ) =

  = √( 1² + ( 4√2 )² - 2* 1* 4√2 * √2/2 ) = √( 1 + 32 - 8 ) = √25 = 5 ( см ) .

У випадку 1)  сosA = cosα = - √ ( 1 - sin²α ) = - √ ( 1 - ( √2/2)²) = - √2/2 .  

За Т. косинусів   ВС = √( АВ² + АС² - 2*АВ*АС* cosα ) =

  = √( 1² + ( 4√2 )² +2* 1* 4√2 * √2/2 ) = √( 1 + 32 + 8 ) = √41 ( см ) .

В - дь :  ВС = 5 см  або  ВС = √41 см .