Предположим обратное, то есть то, что невозможно окружности совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.

Совместим окружности. Назовем -тую точку . Будем действовать следующим образом: в начальный момент хотя бы одна точка находится на дуге (пусть это точка ). Начнем движение одной окружности относительно другой. Как только точка сойдет с дуги, переключим внимание на другую точку , которая в этот момент находится на дуге. В каждый момент считаем прибором расстояние, которое проходит точка, за которой мы наблюдаем. Поэтому мы посчитаем расстояние , не превосходящее , где — количество точек, — суммарная длина дуг. С другой стороны, в любой момент прибор включен и считает расстояние. Поэтому не меньше — длины окружности. Имеем: , однако . Противоречие.