Verified answer

Ответ:

Пошаговое объяснение:

область сходимости степенного ряда определяется величиной радиуса сходимости R  (при условии R >0)- это интервал (-R; R), где     , на границах интервала сходимость ряда исследуется отдельно

все наши ряды имеют вид      , мы работаем с аₙ

итак, поехали

1)

• вычислим радиус сходимости

тогда ряд является абсолютно сходящимся при  х ∈ (-1/3;1/3)

• теперь исследуем поведение ряда на концах интервала

а)  точка x = -1/3 подставим x = -1/3 в наш ряд, получим числовой ряд

'это у нас знакочередующийся ряд. исследуем его по признаку Лейбница

-- по первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего,  для нашего ряда возьмем первые три члена ряда - это условие выполняется

--  по второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0. тоже у нас выполняется

чтобы говорить об абсолютной или условной сходимости, необходимо исследовать ряд по одному из признаков сходимости рядов. мы применим сравнительный признак

как уже упрощали выше, у нас получился обобщенный гармонический ряд с α> 1   , он сходится, значит и наш  числовой ряд сходится абсолютно, а из этого следует, что наш исходный ряд в точке х= -1/3  сходится.

б) точка х = 1/3. подставим в исходный ряд, получим числовой ряд

- это обычный числовой ряд. его надо исследовать на сходимости при помощи признака сходимости ряда - мы используем сравнительный признак. это мы уже проделывали выше, получали обобщенный гармонический ряд с α> 1, отсюда вывод -  и наш  числовой ряд сходится абсолютно, а из этого следует, что наш исходный ряд в точке х= 1/3  сходится.

ответ

таким образом мы установили, что исходный  степенной ряд является  сходящимся при x ∈ [-1/3; 1/3]

2) найдем радиус сходимости ряда

ответ

степенной ряд сходится абсолютно при  x=0

4)

• считаем радиус сходимости

теперь найдем х₁ =3-10 = -7   х₂ =3+10 =13

тогда ряд  сходится абсолютно при  x ∈ (-7;13)

• теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала

а) точка х = -7 подставим, получим числовой ряд    

это знакочередующийся ряд. и у него не выполняется первый признак Лейбница  1 < 8 < 27 - этот ряд расходится. значит и наш степенной ряд в точке х=-7 расходится

б) точка х = 13  подставим  и получим числовой ряд  

это у нас положительный ряд и по сравнительному признаку он расходится (n³ = 1/n⁻³   α <1), а это значит, что  и наш степенной ряд в точке х=13 расходится

ответ

степенной ряд сходится  при  x∈ (-7;13)

3)  посчитаем радиус сходимости

ряд сходится на интервале  (-1;1)

дальше аналогично тому, как делали выше, надо исследовать на концах интервала.

после исследования получим

степенной ряд сходится при  x∈ (-1;1]