Verified answer

Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника. 

Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла при основании пирамиды. 

Сделаем схематический рисунок сечения КМТ пирамиды через вершину и середины противоположных сторон основания. 

1) Найдем радиус вписанного шара из формулы его объёма. 

V=4πR³:3=32π/3, откуда R³=8 ⇒ R=2

Рассмотрим рисунок сечения.  

∆ КМТ - равнобедренный, т.к. КМ=ТМ –апофемы правильной пирамиды равны. ОН=ОЕ=R=2 ( из найденного)

⇒ ОМ=6-2=4

ОЕ⊥МЕ, sin ∠OME=ОЕ/ОМ=2/4=1/2. Это синус 30°. 

Угол ОМЕ=30°, угол КМТ=60°, ⇒ ∆КМТ - равносторонний. 

МТ=МН/cos30°=6:(√3/2)=4√3

AD=КТ=МТ=4√3

Объём пирамиды равен 1/3  произведения площади основания на высоту. 

V(MABCD)= AD²•MН/3

V=48•6/3=96 (ед. объёма)