Task/28559397 ------------------- task/28559397 -------------------- 1. Функция F(x) является первообразной для функции f(x) , если F'(x) =f(x) а) F ' (x) =(x³+4x² -5x+7) ' =(x³)' +(4x²)' -(5x) '+(7) ' =3x² +4*(x²)' -5*(x) '+0 = 3x² +4*2x -5*1 =3x² +8x - 5 = f(x) . x∈R --- б) F ' (x) =(3x⁴- lnx) ' =(3x⁴)' - (lnx) '=3*(x⁴)' -1/x =3*4*x³-1/x ==12x³ -1/x = f(x) при x >0 -------------------- 2. Найдите первообразную для функции : а) f(x) = 2/x³ +cosx , x≠0 F(x) = ∫ f(x)dx = ∫(2/x³ +cosx)dx = ∫(2/x³)dx + ∫cosxdx =2∫x⁻³ dx +sinx +C = =2*x⁻² / (-3+1 +sinx +C = - 1/x² +sinx +C . --- б) f(x) = 3eˣ , x ∈ R F(x) = ∫ f(x)dx = ∫3eˣdx = 3∫eˣdx= 3eˣ +C. -------------------- 3. Найдите ту первообразную F(x) для функции f(x) =3x²+4x , график которой проходит через точку A( 1 ;5). F(x)= ∫ f(x)dx = ∫(3x²+4x)dx = x³ +2x² +C т.к. F(x) проходит через точку A( 1 ;5) , то F(1)= 5, следовательно 5 =1³ +2*1² +C ⇒ С =2 .
ответ : F(x) = x³ +2x² +2 . -------------------- 4. Вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями y =x² и y =9. --- Точки пересечения графиков функций y =x² (парабола) и y =9 (прямая || оси абсцисс_ OX) : x² =9 ⇔ x =±3 . ³ ³ S = ∫ x²dx =x³ | =3³ -(-3)³ =27 -(-27) = 54 кв. единиц -₃ -₃ ответ : 54 кв. единиц.
Answers & Comments
Verified answer
Task/28559397-------------------
task/28559397
--------------------
1.
Функция F(x) является первообразной для функции f(x) , если F'(x) =f(x)
а)
F ' (x) =(x³+4x² -5x+7) ' =(x³)' +(4x²)' -(5x) '+(7) ' =3x² +4*(x²)' -5*(x) '+0 =
3x² +4*2x -5*1 =3x² +8x - 5 = f(x) . x∈R
---
б)
F ' (x) =(3x⁴- lnx) ' =(3x⁴)' - (lnx) '=3*(x⁴)' -1/x =3*4*x³-1/x ==12x³ -1/x = f(x)
при x >0
--------------------
2.
Найдите первообразную для функции :
а)
f(x) = 2/x³ +cosx , x≠0
F(x) = ∫ f(x)dx = ∫(2/x³ +cosx)dx = ∫(2/x³)dx + ∫cosxdx =2∫x⁻³ dx +sinx +C =
=2*x⁻² / (-3+1 +sinx +C = - 1/x² +sinx +C .
---
б)
f(x) = 3eˣ , x ∈ R
F(x) = ∫ f(x)dx = ∫3eˣdx = 3∫eˣdx= 3eˣ +C.
--------------------
3.
Найдите ту первообразную F(x) для функции f(x) =3x²+4x , график которой проходит через точку A( 1 ;5).
F(x) = ∫ f(x)dx = ∫(3x²+4x)dx = x³ +2x² +C
т.к. F(x) проходит через точку A( 1 ;5) , то F(1)= 5, следовательно
5 =1³ +2*1² +C ⇒ С =2 .
ответ : F(x) = x³ +2x² +2 .
--------------------
4.
Вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями y =x² и y =9.
---
Точки пересечения графиков функций
y =x² (парабола) и y =9 (прямая || оси абсцисс_ OX) :
x² =9 ⇔ x =±3 .
³ ³
S = ∫ x²dx =x³ | =3³ -(-3)³ =27 -(-27) = 54 кв. единиц
-₃ -₃
ответ : 54 кв. единиц.