ssoxo
Так как боковые рёбра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то основание О высоты МО лежит в центре описанной около основания пирамиды окружности. АО=ВО=СО=ДО=R. Треугольники АОВ и СОД равны по трём сторонам, значит ∠АОВ=∠СОД. Тр-ки ВОС и АОД - равнобедренные. Их высоты ОК⊥ВС и ОМ⊥АД. ∠ВОК=∠СОК, ∠АОМ=∠ДОМ. ∠ВОМ+∠АОВ+∠АОМ=∠СОМ+∠ОСД+∠ДОМ, значит эти суммы равны по 180°, значит точки К, О и М лежат на одной прямой. КМ⊥АД, КМ⊥ВС, значит ВС║АД ⇒ АВСД - трапеция.
Проведём высоту ВЕ к основанию АД. АЕ=(АД-ВС)/2=(14-4)/2=5. В прямоугольном тр-ке АВЕ ВЕ=√(АВ²-АЕ²)=√(13²-5²)=12. Площадь трапеции: S=ВЕ·(АД+ВС)/2=12(14+4)/2=108. В равнобедренной трапеции ∠А+∠С=∠В+∠Д=180°. В тр-ке АВД по теореме косинусов ВД²=АВ²+АД²-2АВ·АД·cosA=13²+14²-2·13·14·cosA=365-364·cosA. В тр-ке ВСД ВД²=ВС²+СД²-2ВС·СД·cosC, где cosC=cos(180-∠A)=-cosA. ВД²=ВС²+СД²-2ВС·СД·(-cosA)=4²+13²+2·4·13·cosA=185+104·cosA. Объединим оба уравнения ВД²: 365-364·cosA=185+104·cosA, 468·cosA=180, cosA=5/13. ВД²=365-364·5/13=225, ВД=15.
В тр-ке АВД ВД/sinA=2R ⇒ R=ВД/2sinA, где R - радиус описанной около тр-ка АВД окружности. R одновременно является радиусом описанной окружности около основания пирамиды (R=АО). sin²A=1-cos²A=1-25/169=144/169. sinA=12/13. R=15·13/(2·12)=8.125. В прямоугольном тр-ке АОМ ∠МАО=45°, значит он равнобедренный. АО=МО=h. V=Sh/3=S·R/3=108·8.125/3=292.5 (ед³) - это ответ.
Answers & Comments
Треугольники АОВ и СОД равны по трём сторонам, значит ∠АОВ=∠СОД.
Тр-ки ВОС и АОД - равнобедренные. Их высоты ОК⊥ВС и ОМ⊥АД. ∠ВОК=∠СОК, ∠АОМ=∠ДОМ.
∠ВОМ+∠АОВ+∠АОМ=∠СОМ+∠ОСД+∠ДОМ, значит эти суммы равны по 180°, значит точки К, О и М лежат на одной прямой.
КМ⊥АД, КМ⊥ВС, значит ВС║АД ⇒ АВСД - трапеция.
Проведём высоту ВЕ к основанию АД.
АЕ=(АД-ВС)/2=(14-4)/2=5.
В прямоугольном тр-ке АВЕ ВЕ=√(АВ²-АЕ²)=√(13²-5²)=12.
Площадь трапеции: S=ВЕ·(АД+ВС)/2=12(14+4)/2=108.
В равнобедренной трапеции ∠А+∠С=∠В+∠Д=180°.
В тр-ке АВД по теореме косинусов ВД²=АВ²+АД²-2АВ·АД·cosA=13²+14²-2·13·14·cosA=365-364·cosA.
В тр-ке ВСД ВД²=ВС²+СД²-2ВС·СД·cosC, где cosC=cos(180-∠A)=-cosA.
ВД²=ВС²+СД²-2ВС·СД·(-cosA)=4²+13²+2·4·13·cosA=185+104·cosA.
Объединим оба уравнения ВД²:
365-364·cosA=185+104·cosA,
468·cosA=180,
cosA=5/13.
ВД²=365-364·5/13=225,
ВД=15.
В тр-ке АВД ВД/sinA=2R ⇒ R=ВД/2sinA, где R - радиус описанной около тр-ка АВД окружности. R одновременно является радиусом описанной окружности около основания пирамиды (R=АО).
sin²A=1-cos²A=1-25/169=144/169.
sinA=12/13.
R=15·13/(2·12)=8.125.
В прямоугольном тр-ке АОМ ∠МАО=45°, значит он равнобедренный. АО=МО=h.
V=Sh/3=S·R/3=108·8.125/3=292.5 (ед³) - это ответ.