sinx=a

cos2x=b

a+a^3+2008a^5 = b+b^3+2008b^5

a-b+(a-b)(a^2+ab+b^2)+(a-b)*2008*(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4) = 0

(a-b)(1+a^2+ab+b^2+2008*(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4))=0

a=b

1)

sinx=cos2x

sinx = 1-2sin^2x

2sin^2x+sinx-1=0

D=1+4*2=3^2

sinx = (-1+3)/4 = 1/2

sinx = (-1-3)/4 = -1

x=pi/6+2pi*k

x=5pi/6+2pi*k

x=-pi/2+2pi*k

2)

S=1+a^2+ab+b^2+2008*(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4) = 0

Отметим что  (a^2+ab+b^2)^2-ab*(a+b)^2 = a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4

Так же (a^2+ab+b^2)=(a+b)^2-ab

Тогда пусть a+b=x, ab=y>=0   тогда   (a+b)^2>=4ab или x^2>=4y>=0  

S=1+(x^2-y)+2008*((x^2-y)^2-y*x^2) >=  1+(4y-y)+2008*((4y-y)^2-y*4y)  =   10040y^2+3y+1  

вершина его  y=-3/20080<0 и так как функция возрастает на [-3/20080;+oo)  тогда при y=0 , S=1

 но тогда  x=0, y=0  то есть  

{a+b=0

{ab=0

a=b=0

 но  sinx=cos2x=0  такого  решения нет