В правильной шестиугольной призме ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до прямой: а) DE, б) D1E1, в) В1С1, г) ВЕ1, д)ВС1, е) СЕ1, ж)CF1, з) СВ1.
а) Расстояние от точки А до прямой DE равно: АЕ=√(4-1)=√3. б) Расстояние от точки А до прямой D1E1 равно: АЕ1=√(АЕ²+ЕЕ1²)=√(3+1)=√4=2. в) Расстояние от точки А до прямой В1С1 равно: ОН1=√(ОН²+НН1²)=√(3/4+1)=√7/2. г) В прямоугольном треугольнике АВЕ1(<A=90°): AB=1, BE1=√(BE²+EE1²)=√(4+1)=√5, тогда АЕ1=√(BE1²-АВ²)=√(5-1)=2. Расстояние от точки А до прямой ВЕ1 равно: АР=2*1/√5=2√5/5 (по свойству высоты из прямого угла). д) В треугольнике JBC1 по теореме косинусов: CosC1=(JС1²+BC1²-JB²)/(2*JC*JB) или CosC1=(1+2-2)/(2*1*√2)=1/√2=√2/2. SinC1=√(1-2/16)=√14/4. Расстояние от точки А до прямой ВС1 равно: J1Q=√14/4. е) В треугольнике АЕ1С стороны АЕ1=СЕ1=2, АС=√3. Полупериметр: (4+√3)/2. Тогда площадь этого треугольника равна по Герону: S=√[(4+√3)*√3*√3*(4-√3)]/4 = √39/4. Расстояние от точки А до прямой СЕ1 равно: AN=2S/CE1 = √39/4. ж) В прямоугольном треугольнике АF1С (<A=90) стороны АF1=√2, CF1=√5 и АС=√3. По свойству высоты из прямого угла: AN=AF1*AC/CF1 или AN=√6/√5. Расстояние от точки А до прямой СF1 равно: AN=√30/5. з) В треугольнике АB1С стороны АB1=СB1=√2, АС=√3. Полупериметр: (2√2+√3)/2. Тогда площадь этого треугольника равна по Герону: S=√[(2√2+√3)*√3*√3*(2√2-√3)]/4 = √15/4. Расстояние от точки А до прямой СB1 равно: AT=2(√15/4)/√2=√30/4.
Второй способ - векторный. Привязываем систему координат к точке А. На рисунке ось 0Z -не видна, так как дан вид сверху. Точки: A(0;0;0) A1(0;0;1) B(-1/2;√3/2;0) B1(-1/2;√3/2;1) C(0;√3;0) C1(0;√3;1) D(1;√3;0) D1(1;√3;1) Е(3/2;√3/2;0) Е1(3/2;√3/2;1) F(1;0;0) F1(1;0;1)
а) Уравнение прямой DE: (X-1)/(1/2)=(Y-√3)/(-√3/2)=(Z-0)/0. Или (2X-1)/4=(2Y+√3)/0=Z/0. Тогда направляющий вектор этой прямой р{1/2;-√3/2;0}. Формула для нахождения расстояния между прямой и точкой в пространстве: d=|M0M1*p|/|p| , где Мо - точка ВНЕ прямой, М1- точка прямой (любая) и р- направляющий вектор прямой. В нашем случае M0=A(0;0;0), M1=D(1;√3;0) и p{1/2;-√3/2;0}. Вектор AD{1;√3;0}. Векторное произведение (AD*p) найдем через определитель: | i j k| | 1 √3 0| = i(0) - j(0) +k(-√3) = {0;0;-√3}. | 1/2 -√3/2 0| Имеем: |M0M1*p|=√(0+0+3)=√3 |p|=√(1/4+3/4+0)=1. Тогда искомое расстояние равно d=√3/1=√3.
Answers & Comments
Verified answer
В правильной шестиугольной призме ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до прямой:а) DE, б) D1E1, в) В1С1, г) ВЕ1, д)ВС1, е) СЕ1, ж)CF1, з) СВ1.
а) Расстояние от точки А до прямой DE равно:
АЕ=√(4-1)=√3.
б) Расстояние от точки А до прямой D1E1 равно:
АЕ1=√(АЕ²+ЕЕ1²)=√(3+1)=√4=2.
в) Расстояние от точки А до прямой В1С1 равно:
ОН1=√(ОН²+НН1²)=√(3/4+1)=√7/2.
г) В прямоугольном треугольнике АВЕ1(<A=90°):
AB=1, BE1=√(BE²+EE1²)=√(4+1)=√5, тогда АЕ1=√(BE1²-АВ²)=√(5-1)=2.
Расстояние от точки А до прямой ВЕ1 равно:
АР=2*1/√5=2√5/5 (по свойству высоты из прямого угла).
д) В треугольнике JBC1 по теореме косинусов:
CosC1=(JС1²+BC1²-JB²)/(2*JC*JB) или
CosC1=(1+2-2)/(2*1*√2)=1/√2=√2/2.
SinC1=√(1-2/16)=√14/4.
Расстояние от точки А до прямой ВС1 равно:
J1Q=√14/4.
е) В треугольнике АЕ1С стороны АЕ1=СЕ1=2, АС=√3.
Полупериметр: (4+√3)/2. Тогда площадь этого треугольника равна по Герону:
S=√[(4+√3)*√3*√3*(4-√3)]/4 = √39/4.
Расстояние от точки А до прямой СЕ1 равно:
AN=2S/CE1 = √39/4.
ж) В прямоугольном треугольнике АF1С (<A=90) стороны АF1=√2, CF1=√5 и АС=√3. По свойству высоты из прямого угла:
AN=AF1*AC/CF1 или AN=√6/√5.
Расстояние от точки А до прямой СF1 равно:
AN=√30/5.
з) В треугольнике АB1С стороны АB1=СB1=√2, АС=√3.
Полупериметр: (2√2+√3)/2. Тогда площадь этого треугольника равна по Герону:
S=√[(2√2+√3)*√3*√3*(2√2-√3)]/4 = √15/4.
Расстояние от точки А до прямой СB1 равно:
AT=2(√15/4)/√2=√30/4.
Второй способ - векторный. Привязываем систему координат к точке А.
На рисунке ось 0Z -не видна, так как дан вид сверху.
Точки:
A(0;0;0)
A1(0;0;1)
B(-1/2;√3/2;0)
B1(-1/2;√3/2;1)
C(0;√3;0)
C1(0;√3;1)
D(1;√3;0)
D1(1;√3;1)
Е(3/2;√3/2;0)
Е1(3/2;√3/2;1)
F(1;0;0)
F1(1;0;1)
а) Уравнение прямой DE: (X-1)/(1/2)=(Y-√3)/(-√3/2)=(Z-0)/0.
Или (2X-1)/4=(2Y+√3)/0=Z/0. Тогда направляющий вектор этой прямой
р{1/2;-√3/2;0}.
Формула для нахождения расстояния между прямой и точкой в пространстве:
d=|M0M1*p|/|p| , где Мо - точка ВНЕ прямой, М1- точка прямой (любая) и р- направляющий вектор прямой.
В нашем случае M0=A(0;0;0), M1=D(1;√3;0) и p{1/2;-√3/2;0}.
Вектор AD{1;√3;0}.
Векторное произведение (AD*p) найдем через определитель:
| i j k|
| 1 √3 0| = i(0) - j(0) +k(-√3) = {0;0;-√3}.
| 1/2 -√3/2 0|
Имеем:
|M0M1*p|=√(0+0+3)=√3
|p|=√(1/4+3/4+0)=1.
Тогда искомое расстояние равно d=√3/1=√3.
б) Уравнение прямой D1E1: (X-1)/(1/2)=(Y-√3)/(-√3/2 )=(Z-1)/0.
р{1/2;-√3/2;0}.
M0=A(0;0;0), M1=D(1;√3;1) и p{1/2;-√3/2;0}.
Вектор AD1{1;√3;1}.
| i j k|
| 1 √3 1| = i(√3/2) - j(-1/2) +k(-√3) = {√3/2;1/2;-√3}.
| 1/2 -√3/2 0|
|M0M1*p|=√(3/4+1/4+3)=√4=2
|p|=√(1/4+3/4+0)=1.
Тогда искомое расстояние равно d=2.
в) Уравнение прямой В1С1: (X+1/2)/(1/2)=(Y-√3/2)/(-√3/2 )=(Z-1)/0.
р{1/2;√3/2;0}.
M0=A(0;0;0), M1=B1(-1/2;√3/2;1) и p{1/2;√3/2;0}.
Вектор AB1{-1/2;√3/2;1}.
| i j k|
|-1/2 √3/2 1| = i(-√3/2) - j(-1/2) +k(-√3/2) = {-√3/2;1/2;-√3/2}.
| 1/2 √3/2 0|
Имеем:
|M0M1*p|=√(3/4+1/4+3/4)=√7/2.
|p|=√(1/4+3/4+0)=1.
Тогда искомое расстояние равно d=√7/2.
г) Уравнение прямой ВЕ1: (X+1/2)/2=(Y-√3/2)/0=(Z-0)/1.
р{2;0;1}.
M0=A(0;0;0), M1=B(-1/2;√3/2;0) и p{2;0;1}.
Вектор AB{-1/2;√3/2;0}.
| i j k|
|-1/2 √3/2 0| = i(√3/2) - j(-1/2) +k(-√3) = {√3/2;1/2;-√3}.
| 2 0 1|
Имеем:
|M0M1*p|=√(3/4+1/4+12/4)=√16/2=2.
|p|=√(4+0+1)=√5.
Тогда искомое расстояние равно d=2√5/5.
д) Уравнение прямой ВС1: (X+1/2)/(1/2)=(Y-√3/2)/(√3/2 )=(Z-0)/1.
р{1/2;√3/2;1}.
M0=A(0;0;0), M1=B(-1/2;√3/2;0) и p{1/2;√3/2;1}.
Вектор AB{-1/2;√3/2;0}.
| i j k|
|-1/2 √3/2 0| = i(√3/2) - j(-1/2) +k(-√3/2) = {√3/2;1/2;-√3/2}.
| 1/2 √3/2 1|
Имеем:
|M0M1*p|=√(3/4+1/4+3/4)=√7/2.
|p|=√(1/4+3/4+1)=√8/2=√2.
Тогда искомое расстояние равно d=√14/4.
е) Уравнение прямой СЕ1: (X-0)/(3/2)=(Y-√3)/(-√3/2 )=(Z-0)/1.
р{3/2;-√3/2;1}.
M0=A(0;0;0), M1=С(0;√3;0) и p{3/2;-√3/2;1}.
Вектор AС{0;√3;0}.
| i j k|
| 0 √3 0| = i(√3) - j(0) +k(-3√3/2) = {√3;0;-3√3/2}.
|3/2 -√3/2 1|
Имеем:
|M0M1*p|=√(3+0+27/4)=√39/2.
|p|=√(9/4+3/4+1)=√16/2=2.
Тогда искомое расстояние равно d=√39/4.
ж) Уравнение прямой СF1: (X-0)/1=(Y-√3)/(-√3)=(Z-0)/1.
р{1;-√3;1}.
M0=A(0;0;0), M1=С(0;√3;0) и p{1;-√3;1}.
Вектор AС{0;√3;0}.
| i j k|
| 0 √3 0| = i(√3) - j(0) +k(-√3) = {√3;0;-√3}.
| 1 -√3 1|
Имеем:
|M0M1*p|=√(3+0+3)=√6.
|p|=√(1+3+1)=√5.
Тогда искомое расстояние равно d=√30/5.
з) Уравнение прямой СВ1: (X-0)/(-1/2)=(Y-√3)/(-√3/2)=(Z-0)/1.
р{-1/2;-√3/2;1}.
M0=A(0;0;0), M1=С(0;√3;0) и p{-1/2;-√3/2;1}.
Вектор AС{0;√3;0}.
| i j k|
| 0 √3 0| = i(√3) - j(0) +k(-√3/2) = {√3;0;-√3/2}.
|-1/2 -√3/2 1|
Имеем:
|M0M1*p|=√(3+0+3/4)=√15/2.
|p|=√(1/4+3/4+1)=√2.
Тогда искомое расстояние равно d=√30/4.