А) Биссектриса угла А делит точкой Р сторону ВС в отношении АС/АВ. (свойство биссектрисы). АВ>AC, так как АВ - гипотенуза. Следовательно, СР<PB. То есть биссектриса АК пересекает сторону ВС в точке Р так, что точка К пересечения этой биссектрисы с лучем MN находится вне треугольника АВС. Заметим, что <CAK=<AKM, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АС и МК и секущей АК. Значит треугольник АМК равнобедренный и АМ=МК. В треугольнике АКВ медиана КМ равна половине стороны АВ, следовательно треугольник АКВ прямоугольный с прямым углом К. <APC=<BPK, как вертикальные. Тогда в прямоугольном треугольнике КРВ: <PBK=90-<BPK или <PBK=90-<АPС=<CAР. Итак, <PBK=<CAP=<KAM=<MKA. Но в треугольнике СВК высота KN является медианой (так как MN - средняя линия треугольника АВС). Значит и <BCK=CBK. Следовательно, треугольники АМК и ВКС подобны по двум углам. Что и требовалось доказать. б)Из прямоугольного треугольника АВК Sin(α/2)=BK/AB. Значит ВК/АМ=2Sin(α/2) (так как АВ=2*АМ). Но ВК/АМ - это коэффициент подобия треугольников АМК и ВКС, площади которых относятся, как квадрат коэффициента подобия. То есть Sbkc/Samk=4Sin²(α/2). Остальное - тригонометрия. По формуле приведения cos(2α)=1-2Sin²α. Или cosα=1-2Sin²(α/2) Cosα=0,6 (дано). Итак, 1-2Sin²(α/2)=0,6. Тогда Sin²(α/2)=0,4/2=0,2. Значит Sbkc/Samk=4*0,2=0,8. Ответ: Sbkc/Samk=0,8.
Answers & Comments
Verified answer
А) Биссектриса угла А делит точкой Р сторону ВС в отношении АС/АВ. (свойство биссектрисы).АВ>AC, так как АВ - гипотенуза. Следовательно, СР<PB. То есть биссектриса АК пересекает сторону ВС в точке Р так, что точка К пересечения этой биссектрисы с лучем MN находится вне треугольника АВС.
Заметим, что <CAK=<AKM, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АС и МК и секущей АК. Значит треугольник АМК равнобедренный и АМ=МК.
В треугольнике АКВ медиана КМ равна половине стороны АВ, следовательно треугольник АКВ прямоугольный с прямым углом К.
<APC=<BPK, как вертикальные.
Тогда в прямоугольном треугольнике КРВ: <PBK=90-<BPK или <PBK=90-<АPС=<CAР.
Итак, <PBK=<CAP=<KAM=<MKA. Но в треугольнике СВК высота KN является медианой (так как MN - средняя линия треугольника АВС). Значит и <BCK=CBK.
Следовательно, треугольники АМК и ВКС подобны по двум углам.
Что и требовалось доказать.
б)Из прямоугольного треугольника АВК Sin(α/2)=BK/AB. Значит ВК/АМ=2Sin(α/2) (так как АВ=2*АМ). Но ВК/АМ - это коэффициент подобия треугольников АМК и ВКС, площади которых относятся, как квадрат коэффициента подобия.
То есть Sbkc/Samk=4Sin²(α/2).
Остальное - тригонометрия.
По формуле приведения cos(2α)=1-2Sin²α. Или cosα=1-2Sin²(α/2) Cosα=0,6 (дано).
Итак, 1-2Sin²(α/2)=0,6. Тогда Sin²(α/2)=0,4/2=0,2.
Значит Sbkc/Samk=4*0,2=0,8.
Ответ: Sbkc/Samk=0,8.