1) Несмотря на усталость, Анатолий был радостно возбуждён.

Запятая, т.к. "Несмотря на усталость" - деепричастный оборот.

В этом предложении обстоятельства - радостно и несмотря на усталость. Способы выражения: через наречие и через деепричастие

2) Несмотря на поздний час, в деревне не спали.

Запятая, т.к. "Несмотря на поздний час" - деепричастный оборот

В этом предложении обстоятельства - несмотря на поздний час и деревне. Способы выражения: через деепричастие и через существительное

3) Голос у него, несмотря на хрипоту, был зычный и грубый

Запятая, т.к. "несмотря на хрипоту" - деепричастный оборот.

В этом предложении обстоятельство - несмотря на хрипоту. Способ выражения: через деепричастие

4) С этого дня, несмотря на разницу возрастов и положений, между ними установилась искренняя дружба.

Запятая, т.к. "несмотря на разницу возрастов и положений" - деепричастный оборот

В этом предложении обстоятельства - с этого дня и несмотря на разницу возрастов и положений. Способы выражения: через синтаксически неделимое словосочетание и через деепричастие