Verified answer

[tex]x_{1} = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} , x_{2} = \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2} } }{2} , x_{3} = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ [/tex]

пошаговое обучение.

[tex]3x - 4 {x}^{3} = \sqrt{1 - {x}^{2} } [/tex]

поменяем местами уровнение

[tex] \sqrt{1 - {x}^{2} } = 3x - 4 {x}^{3} [/tex]

возьмём квадрат обе части уровнение

[tex] { \sqrt{1 - {x}^{2} } }^{2} = (3x - 4 {x}^{ 3} {)}^{2} [/tex]

сокращаем степень корня и показатель

корня и показатель степени на 2

[tex]1 - {x}^{2} = (3x - 4 {x}^{3} {)}^{2} [/tex]

используя

( а-b)²=a²-2ab+b²

запишим уравнение в развернутом виде

[tex]1 - {x}^{2} = 9 {x}^{2} - 24 {x}^{4} + 16 {x}^{6} [/tex]

Переносим неизвестные в левую часть прибавлением к обеим частям противоположных к ним

[tex]1 - x ^ 2 - 9x ^ 2 + 24x ^ 4 - 16x ^ 6 = 9x ^ 2 - 24x ^ 4 + 16x ^ 6 - 9x ^ 2 + 24x ^ 4 - 16x ^ 6 \\ [/tex]

сумма двух противоположных чисел равна 0

[tex]1 - x ^ 2 - 9x ^ 2 + 24x ^ 4 - 16x ^ 6 = 0[/tex]

берём -х²-9х²

ели отрицательное

член не имеет коэффициента, то коэффициент считается равным -1

[tex] - 1 {x}^{2} - 9 {x}^{2} [/tex]

Сгруппируем подобные члены, вычислив сумму или разность их коэффициентов

[tex]( - 1 - 9) {x}^{2} [/tex]

вычесляем разность

[tex] - 10 {x}^{2} [/tex]

так мы нашли -10х²

значит мы должны привести подобные члены

[tex] 1 - 10 {x}^{2} + 24 {x}^{4} - 16 {x}^{6} = 0[/tex]

запишим 24 х⁴ в виде суммы

[tex]1 - 10x ^ 2 + 8x ^ 4 + 16x ^ 4 - 16x ^ 6 = 0 \\ [/tex]

запишем 10х² виде

разности

[tex]1 - 8x ^ 2 - 2x ^ 2 + 8x ^ 4 + 16x ^ 4 - 16x ^ 6 = 0 \\ [/tex]

выносим общий за общий множетель -8х⁴

[tex]1 - 8 {x}^{2} - 2 {x}^{2} - 8 {x}^{4} \times (2 {x}^{2} - 1) + 16 {x}^{4} = 0 \\ [/tex]

вынесим за скобки общий множетель

8х²

[tex]1 + 8 {x}^{2} \times (2 {x}^{2} - 1) - 2 {x}^{2} - 8 {x}^{4} \times( 2x - 1) = 0 \\ [/tex]

вынесим знак минус да скобки

[tex]- (2x ^ 2 - 1) + 8x ^ 2 * (2x ^ 2 - 1) - 8x ^ 4 * (2x ^ 2 - 1) = 0 \\ [/tex]

вынесим за скобки общий множетель-(2х²-1)

[tex]- (2x ^ 2 - 1) * (8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1) = 0 \\ [/tex]

умножим обе части уровнение

на -1

[tex]- 1 \times (- (2x ^ 2 - 1)) \times (8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1) = - 1 * 0 \\ [/tex]

Произведение четного количества отрицательных сомножителей положительно

[tex]1(2x ^ 2 - 1)(8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1) = - 1 * 0 \\ [/tex]

любое выражение множитель на 1

не изменяется

[tex](2x ^ 2 - 1)(8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1) = - 1 * 0 \\ [/tex]

Любое выражение, умноженное на 0, равно 0

[tex](2x ^ 2 - 1) \times (8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1) = 0[/tex]

Если произведение равно 0, то как минимум один из множителей равен 0

[tex]2x ^ 2 - 1 = 0 \\

8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1 = 0[/tex]

[tex]2x ^ 2 - 1 = 0[/tex]

Переносим постоянную в правую часть и сменить ее знак

[tex]2 {x}^{2} = 1[/tex]

разделяем обе стороны уравнения на 2

[tex]x ^ 2 = \frac{1}{2} [/tex]

мы должны извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения, помня об использовании положительных и отрицательных корней

[tex]x= + \frac{ \sqrt{2} }{2} [/tex]

поставь место (+ -±)

Запишим решения: одно со знаком + и одно со знаком -

[tex]x = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x = \frac{ \sqrt{2} }{2} [/tex]

решаем уровнение относительно х

[tex]8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1 = 0[/tex]

решаем тоже относительно х

[tex]8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1 = 0[/tex]

Преобразуем биквадратное уравнение в квадратное уравнение путем подстановки t вместо х²

[tex]8t ^ 2 - 8t + 1 = 0[/tex]

теперь решаем относительно t

[tex]t = \frac{2 + \sqrt{2} }{4} \\ t = \frac{2 - \sqrt{2} }{4} [/tex]

сделаем обратную замену

t=х²

[tex] {x}^{2} = \frac{2 + \sqrt{2} }{4} \\ {x}^{2} = \frac{2 - \sqrt{2} }{ 4} [/tex]

решаем относится х

[tex]x = - \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} \\ x = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} \\ {x}^{2} = \frac{2 - \sqrt{2} }{4} [/tex]

тоже решение относительно х

[tex]x = - \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} [/tex]

[tex]x = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} \\ [/tex]

[tex]x = - \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2} } }{2} [/tex]

[tex]x = \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2} } }{2} [/tex]

Проверяем, является ли данное значение решением уравнения

[tex]3 \times ( - \frac{ \sqrt{2} }{2} ) - 4 \times ( - \frac{ \sqrt{2} }{2} {)}^{3} = \sqrt{1 - ( \frac{ \sqrt{2} }{2} } {)}^{2} \\ x = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x = - \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} \\ x = \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2} } }{2} [/tex]

продолжение на фотографии!