Verified answer

[tex] \displaystyle \frac{4\text{tg}x}{1 +\text{tg} {}^{2} x} = 2\sin2x[/tex]

Пригодятся основные триг.тождества:

[tex]\displaystyle \tt\text{tg}x =\frac{\sin x}{\cos x}[/tex]

[tex]\displaystyle \tt 1+\text{tg}^2x=\frac{1}{\cos^2x}[/tex]

Формула двойного угла для синуса:

[tex]\displaystyle\tt \sin2x=2\sin x \,*\,\cos x[/tex]

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

[tex] \displaystyle 4 \text{tg}x : (1+\text{tg}^2x)= 4 \text{tg}x : \boldsymbol{\frac{1}{\cos^2x}}= 4\boldsymbol{ \frac{\sin x}{\not{\cos x}}} \,*\, \cos^{\not2}x=\\[/tex]

[tex]\displaystyle =4\sin x \,*\,\cos x = 2\,*\,\boldsymbol{2\sin x \,*\, \cos x}= 2\sin2x\\[/tex]

Тождество доказана!