Объяснение:

[tex]f(x)=\frac{\sqrt{x} -x^2}{\frac{\sqrt{x} }{2}-2\sqrt{x} }=\frac{\sqrt{x} -x^2}{\frac{\sqrt{x} -4\sqrt{x} }{2} } =\frac{2*\sqrt{x} *(1-\sqrt{x^3}) }{-3\sqrt{x} } =-\frac{2*(1-\sqrt{x^3}) }{3}=\frac{2}{3}*(x^\frac{3}{2}-1) .\\ f'(x)=\frac{2}{3}* (x^\frac{3}{2}-1 )'=\frac{2}{3}*\frac{3}{2} *x^\frac{1}{2}=\sqrt{x}. \\f'(4)=\sqrt{4}=2. \\[/tex]

Verified answer

Ответ: 2

Объяснение:

Упростим

[tex]\displaystyle f(x ) = \cfrac{\sqrt{x} - x^2 }{\cfrac{\sqrt{x} }{2} - 2\sqrt{x} } =\frac{2(\sqrt{x} - x^2 )}{-3\sqrt{x} }[/tex]

Найдем производную

[tex]f'(x) = \bigg(\displaystyle\frac{2(\sqrt{x} - x^2 )}{-3\sqrt{x} } \bigg ) ' =\frac{2(\sqrt{x}-x^2 )'\cdot (-3\sqrt{x} ) -2(\sqrt{x}-x^2 )\cdot (-3\sqrt{x} )' }{9x} = \\\\\\ \frac{2\cdot \bigg (\dfrac{1}{2\sqrt{x} } -2x \bigg) \cdot (-3 \sqrt{x} ) - 2(\sqrt{x}-x^2 )\cdot\bigg(- \dfrac{3}{2\sqrt{x} } \bigg )}{9x} = \\\\\\\ \frac{-3 + 12x\sqrt{x} +3 - 3x\sqrt{x} }{9x} =\frac{9x\sqrt{x} }{9x} = \sqrt{x}[/tex]

x₀ = 4

Тогда

[tex]f'(x_0) = f'(4) = \sqrt{4} = 2[/tex]