Verified answer

[tex]2 \sqrt{x^2 - 3x + 11 } + x^2-3x = 4[/tex]

[tex]2 \sqrt{x^2 - 3x + 11 } + x^2-3x +11-11- 4=0[/tex]

[tex](x^2-3x +11)+2 \sqrt{x^2 - 3x + 11 }-15=0[/tex]

[tex]\left( \sqrt{x^2-3x +11}\right)^2+2 \sqrt{x^2 - 3x + 11 } -15=0[/tex]

Замена: [tex]\sqrt{x^2 - 3x + 11 } =y\geqslant 0[/tex]

[tex]y^2 +2y-15=0[/tex]

По теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

[tex]\begin{cases} y_1+y_2=-2 \\ y_1y_2=-15\end{cases}[/tex]

[tex]\Rightarrow y_1=-5;\ y_2=3[/tex]

Заметим, что первый корень не удовлетворяет условию замены, так как квадратный корень может принимать лишь неотрицательные значения. Значит:

[tex]y=3[/tex]

Обратная замена:

[tex]\sqrt{x^2 - 3x + 11 } =3[/tex]

[tex]x^2 - 3x + 11 =3^2[/tex]

[tex]x^2 - 3x + 11 =9[/tex]

[tex]x^2 - 3x + 2 =0[/tex]

Сумма коэффициентов уравнения равна 0, значит первый корень уравнения равен 1, а второй равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту:

[tex]x_1=1;\ x_2=2[/tex]

Ответ: 1; 2