Кто вторым напишет верное решение, получит еще и "лучший ответ" :)
Дана последовательность натуральных чисел [tex]x_1,\ x_2,\ \dots[/tex], причем [tex]2013^{2012}\leqslant x_1\leqslant2012^{2013}[/tex], x1 не делится на 5, а для всех остальных членов существует формула
[tex]x_{n+1}=x_n+y_n,[/tex] где [tex]y_n[/tex] - последняя цифра числа [tex]x_n[/tex].
Доказать, что среди членов последовательности [tex]x_n[/tex] бесконечно много степеней двойки.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
По условию посдедняя цифпа числа х1 не 0 и не 5 (иначе делится на 5), а значит цифра y1 равно либо 1,2,3,4,6,7,8 или 9, тогда последняя цифра числа х2 а значит и число y2 равны либо 2, 4, 6, либо 8
Так как ..2+2=...4;
...4+4=..8
..6+6=...2
...8+8...=6
то последовательность y2, y3,y4, .... является периодичной с периодом 4.
Поэтому для любого n>1
а для любого t>1
Любое число
получается имеет вид
С двух членов последовательности
и 
хотя бы одно делится на 4. Запишем его в виде
a_n=4l
Тогда
Среди чисел вида l+5t бесконечно много степеней двойки так как остатки от деления на 5 степеней двойки образуют переодическую последовательность 1,2,4,3,1, ... и значит , бесконечно много степеней двойки дают при делении на 5 такой же остаток, как и число l