tex] не более, чем на 0,01. Если таких m, n и p не существует, объясните, почему...

July 2022 1 42 Report

1) Докажите, что равенство [tex]m+n\sqrt7=p\sqrt2[/tex] не выполнено ни для каких целых m, n, и p, не равных одновременно нулю.
2) Найдите какие-нибудь такие целые m, n, и p, не равные одновременно нулю, что [tex]m+n\sqrt7[/tex] отличается от [tex]p\sqrt2[/tex] не более, чем на 0,01. Если таких m, n и p не существует, объясните, почему.

Answers & Comments

Guerrino

1) Пусть равенство $m+n\sqrt{7}=p\sqrt{2}$ выполнено. Тогда выполнено и равенство $m^2+7n^2+2mn\sqrt{7}=2p^2$ , но слева иррациональное число, а справа целое, противоречие.

2) Пусть сразу $m=0$ , $p,n>0$ . Тогда нам нужно найти как можно меньшее значение $\sqrt{7n^2}-\sqrt{2p^2}$ . Мы сможем этого достичь, если числа $p,n$ будут достаточно большими, а величина $7n^2-2p^2$ достаточно маленькой.

Найдем такие числа. Пусть $7n^2-2p^2=7 \Leftrightarrow 7(n^2-1)=2p^2$ , возьмем $n=2k+1$ . Получим $p^2=14k(k+1)$ , пусть $k=14m^2$ , тогда требуется найти такое $k$ , чтобы $14m^2+1=z^2 \Leftrightarrow 14m^2=(z-1)(z+1)$ , сделаем последнюю замену: $z=14l+1$ , имеем: $m^2=l(14l+2)$ , откуда сразу угадывается решение $m=4,\;l=1$ . Возвращаясь к заменам, получим $k=14\times16=224$ , Значит, $p^2=14\times224\times 225\Rightarrow p=840$ , $n=2k+1=449$ .