Verified answer

Ответ:

Да, можно

Пошаговое объяснение:

Мн-ва эквивалентны, если можно построить биективное отображение из одного в другое.

Нетрудно заметить, что в данном случае такое отображение можно задать, например, поставив в соответствие каждой точке А заданной части окружности точку пересечения оси Ох и прямой, проходящей через точку А и центр окружности (0;1).

Обоснуем это.

Отметим, что мн-во точек - верхняя половина окружности без точек . Тогда каждая точка этого множества однозначно задается значением ее абсциссы. Аналогично заметим, что и каждая из точек оси Оx однозначно задается своей абсциссой (т.к. ордината у каждой из точек равна 0).

Зафиксируем точку А с абсциссой а, . Тогда ее ордината b выражается из уравнения:

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку А и центр окружности (0;1).

Если она перпендикулярна оси Оx, то ее уравнение .

Если такая прямая существует, то удовлетворяет системе - действительно, для a=0 такая прямая задается уравнением .

Тогда точка пересечения с осью Оx - (0;0)

Пусть теперь прямая не перпендикулярна оси Оx, тогда ее уравнение

Если такая прямая существует, то удовлетворяет системе

a=0 не удовлетворяет данному уравнению => разделив на a, имеем:

И уравнение такой прямой имеет вид

Выразим абсциссу точки пересечения с осью Ox:

Исследуем функцию

- а значит функция монотонно возрастает на области задания

, а значит, если доопределить ее в точке z=0 значением 0 (абсцисса точки пересечения прямой при a=0), то функция будет непрерывна. А тогда она принимает и все значения между и , т.е. ее мн-во значений . А, т.к. она монотонна, то и каждое значение ровно 1 раз.

А это и означает, что для любой точки множества найдется точка оси Ox, причем уникальная, и наоборот.

Ч.т.д.