Verified answer

Заметим, что если пара (x₀, y₀) – решение системы, то и пара (x₀, -y₀) также является решением системы. Доказывается это подстановкой -y вместо y в уравнения:

В первом уравнении рассмотрим только первые две скобки:

После замены y на -y сумма не изменилась, значит, уравнение осталось тоже неизменным.

Во втором уравнении при подстановке -y минус «съедается» квадратом, поэтому уравнение также остаётся неизменным.

Исходя из этого единственным решение бывает тогда, когда y = -y, то есть y = 0. Получаем такую систему:

Рассмотрим функцию на промежутке -6 ≤ x ≤ 0. Вершина этой параболы находится в точке с абсциссой -3, ось симметрии ровно посередине заданного промежутка. Значит, при x = -3 парабола принимает ровно одно значение, а при всех остальных заданных x – ровно два. Отсюда единственность решения достигается:

1) x = -3 (единственное решение первого уравнения), причём , иначе не будет решений второго уравнения;

2) x = 0 (единственное решение второго уравнения).

Случай, когда первое уравнение имеет два решения, а второе – только одно из них, не достигается.

Случай 1 (x = -3):

При таком a - верно, значение подходит.

Случай 2: (x = 0):

.

Проверка значений параметра на посторонние решения:

При a = 2 из второго уравнения следует, что y = 0, тогда из первого следует, что , это уравнение также имеет единственное решение.

При a = -1 первое уравнение имеет вид . Рассмотрим функции и .

Нули производной:

Функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0. Значит, x = 0 – точка глобального минимума. Минимальное значение функции f(0) = 2. Значит, E(f) = [2; +∞).

g(x) – парабола. При заданных ограничениях E(g) = [-4; 2]. Значит, решение первого уравнения существует, если:

Вид второго уравнения при a = -1: . Пара решений (-6; 0) не является его решением. Пара (0; 0) является его решением. Значит, система имеет единственное решение.

Ответ: -1; 2