Решите уравнение[tex] log_{tgx}(2 - ctgx) + 2 log_{(2 - ctgx)}\sqrt{tgx} = \frac{5}{2} [/tex]. Created by MisterSmith. matematika-ru

Область определения запишемСистематизируем немногоИз последнего видим, что , а это уже есть. Остается тогдаПравда, решая неравенство методом интервалов, получаем Но тангенс из другого неравенства больше нуля, поэтому и не забываем , вот все ограничения.Теперь решаем неравенство:Тут t явно не равно нулю в числителе, поэтому это ограничение нам особо не нужно.Решаем 1-ое уравнение (t=1/2): Видно по сумме коэффициентов, равно 0, что p=1 - корень уравнения. Однако, , но по ограничениям не подходит. Теперь делим уголком или по схеме Горнера на p-1 и получаем Видно, что оба значения положительны, но второе и больше 1/2, так как в числителе число, куда больше, чем 1.А вот другой корень проверим:, а значит, tgx <1/2 в этом случае и это нам не подходит, отсюда берем лишь Решаем второе уравнение:(то, что здесь понятно, поэтому смело на него умножаем все уравнение без потери корней)Тут сумма коэффициентов равна 0, k=1 - корень. Поделим на k-1 уголком или по схеме Горнера и получимКорень k=1=tgx нам не подходит, так как по ограничениям Решаем квадратное уравнение, которое дает нам вторая скобка.Отрицательный корень не берем, так как Проверим положительный корень на выполнение ограничений (сравня с 1/2)Левое выражение больше правого, значит, этот корень удовлетворяет (так как это не целое число, то оно не равно 1, то есть , поэтому корень подходит)Ответ:

tex]...

MisterSmith @MisterSmith

July 2022 1 2 Report

Решите уравнение
[tex] log_{tgx}(2 - ctgx) + 2 log_{(2 - ctgx)}\sqrt{tgx} = \frac{5}{2} [/tex]

Answers & Comments

ArtemCoolAc

Verified answer

Область определения запишем

$\left\{\begin{matrix}tgx>0\\ tgx \neq 1\\ 2-ctgx>0\\ 2-ctgx>0\\ 2-ctgx \neq 1\\ tgx>0\end{matrix}\right.$

Систематизируем немного

$\left\{\begin{matrix}tgx>0\\ tgx \neq 1\\ 2-ctgx>0\\ 2-ctgx \neq 1\end{matrix}\right.$

Из последнего видим, что $ctgx\neq 1 \Rightarrow tgx=\neq 1$ , а это уже есть. Остается тогда

$\left\{\begin{matrix}tgx>0\\ tgx \neq 1\\ ctgx$

Правда, решая неравенство $$ctgx$

методом интервалов, получаем

$$tgx\in(-\infty;0)\cup(\frac{1}{2};+\infty)$

Но тангенс из другого неравенства больше нуля, поэтому

$$tgx>\frac{1}{2}$ и не забываем $tgx\neq 1$ , вот все ограничения.

Теперь решаем неравенство:

$$log_{tgx}(2-ctgx)+2\frac{1}{2 \cdot log_{tgx }(2-ctgx)} =\frac{5}{2};$

$$t=log_{tgx}(2-ctgx); t+\frac{1}{t}-\frac{5}{2}=0; \frac{2t^2-5t+2}{t}=0$

Тут t явно не равно нулю в числителе, поэтому это ограничение нам особо не нужно.

$2t^2-5t+2=0; D=(-5)^2-4\cdot2 \cdot 2=25-16=9=3^2;$

$$t=\frac{5\pm3}{4}; \left [ {{t=\frac{1}{2} } \atop {t=2}} \right.$

Решаем 1-ое уравнение (t=1/2): $$log_{tgx}(2-ctgx)=\frac{1}{2}; 2-ctgx=\sqrt{tgx}; 2-\frac{1}{tgx}=\sqrt{tgx}$

$$2-\frac{1}{p^2}=p; 2p^2-1=p^3; p^3-2p^2+1=0;$

Видно по сумме коэффициентов, равно 0, что p=1 - корень уравнения. Однако, $\sqrt{tgx}=1; \Rightarrow tgx=1$ , но по ограничениям не подходит. Теперь делим уголком или по схеме Горнера на p-1 и получаем

$p^2-p-1=0; D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=5$

$$p=\frac{1\pm\sqrt{5} }{2}; p^2=\frac{1\pm 2\sqrt{5}+5 }{4}=\frac{3\pm\sqrt{5} }{2}=tgx$

Видно, что оба значения положительны, но второе и больше 1/2, так как в числителе число, куда больше, чем 1.

А вот другой корень проверим:

$$\frac{3-\sqrt{5} }{2}\vee\frac{1}{2}; (3-\sqrt{5})\vee1; 3-\sqrt{5}$ , а значит, tgx <1/2 в этом случае и это нам не подходит, отсюда берем лишь

$$tgx=\frac{3+\sqrt{5} }{2}; x=arctg(\frac{3+\sqrt{5} }{2} )+\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Решаем второе уравнение:

$$log_{tgx}(2-ctgx)=2; 2-ctgx=tg^2x; 2-\frac{1}{tgx}=tg^2x; k=tgx;$

$$2-\frac{1}{k}=k^2; 2k-k^3-1=0; k^3-2k+1=0;$

(то, что $k\neq 0$ здесь понятно, поэтому смело на него умножаем все уравнение без потери корней)

Тут сумма коэффициентов равна 0, k=1 - корень. Поделим на k-1 уголком или по схеме Горнера и получим

$k^3-2k+1=(k-1)(k^2+k-1)$

$(k-1)(k^2+k-1)=0;$

Корень k=1=tgx нам не подходит, так как по ограничениям $tgx\neq 1$

Решаем квадратное уравнение, которое дает нам вторая скобка.

$$k^2+k-1=0; D=1^2-4\cdot 1\cdot(-1)=5; k=\frac{-1\pm\sqrt{5} }{2}$

Отрицательный корень не берем, так как $tgx>\frac{1}{2}$

Проверим положительный корень на выполнение ограничений (сравня с 1/2)

$$\frac{\sqrt{5}-1 }{2} \vee \frac{1}{2} \Rightarrow (\sqrt{5}-1) \vee 1;$

Левое выражение больше правого, значит, этот корень удовлетворяет $tgx>\frac{1}{2}$ (так как $k$ это не целое число, то оно не равно 1, то есть $tgx\neq 1$ , поэтому корень подходит)

$$tgx=\frac{\sqrt{5} -1}{2}; x=arctg(\frac{\sqrt{5}-1}{2} )+\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\boxed{x=arctg(\frac{3+\sqrt{5} }{2} )+\pi k, k \in \mathbb{Z},arctg(\frac{\sqrt{5}-1}{2} )+\pi n, n \in \mathbb{Z}}$

ArtemCoolAc Уже изменить не могу. Обидка

ArtemCoolAc В любом случае, спасибо за бдительность! Если модераторы дадут возможность исправить решение, конечно, его исправлю)

ArtemCoolAc Стоп. Ошибка у вас (3+sqrt(5))/2 > 2!!!!! У меня все верно как раз!

ArtemCoolAc Стоп. Ну пусть уравнение получится и это сделаю. Но я построил график на сайте и увидел, что там всего 1 корень, повторяющийся через pi. Так что даже не знаю. В чем тут подвох) Но решение надо бы исправить)

Answers & Comments

Verified answer

pravda li chto nozhi tupyatsya iz za goryachej vody obyasnite s fizicheskoj tochki zre

kakuyu formu budet imet solnechnyj zajchik na klassnoj doske ot kvadratnogo zerkal

tochka m seredina storony cd parallelogramma abcd na ego storone ad vzyali taku

pri kakih znacheniyah parametra a uravnenie aa3x22a6x 3a 90imeet bolee od

pri kakih znacheniyah parametra a uravneniya x2 x3a0 i ax2 x30 imeyut hotya by

ch i prodolzhaet ehat s etoj skorostyu voditel vtorogo avtomobilya nachinaet povt

skolko energii potreblyaet zabajkalskij kraj v god

tex imeet rovno odno reshenie

kakoe naibolshee kolichestvo mozhno sozdat treugolnikov esli ih maksimalnaya st

tex imeet edinstvennoe reshenie4a214cc85c3e5bc9e014adcb7c4417cb 72570

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social