tex] . Также известно, что f(6)=8. Найдите f(9)...

kotuk2000 @kotuk2000

July 2022 1 23 Report

Для функции f и всех неотрицательных x и y выполняется равенство [tex]f( \sqrt[3]{x} ) + f( \sqrt[3]{y} ) =f( \sqrt[3]{x+y} ) [/tex] . Также известно, что f(6)=8. Найдите f(9).

Answers & Comments

yugolovin

Verified answer

Предварительное замечание. Условиям задачи удовлетворяет функция $f(x)=\frac{x^3}{27}.$ Для нее f(9)=27. Так что мы знаем, какой ответ нужно получить.

Лемма. $f(\sqrt[3]{x_1+x_2+\ldots + x_n})=f(\sqrt[3]{x_1})+f(\sqrt[3]{x_2})+\ldots+
f(\sqrt[3]{x_n})$

Доказательство сводится к многократному использованию исходного равенства.

Лемма. f(2a)=8f(a).

Доказательство.

$f(2a)=f(\sqrt[3]{8a^3})=f(\sqrt[3]{a^3+a^3+\ldots +a^3})=f(\sqrt[3]{a^3})+\ldots+f(\sqrt[3]{a^3})=$

=8f(a)

Следствие. f(3)=1. В самом деле, 8=f(6)=8f(3); f(3)=1.

Теперь все просто.

$f(9)=f(\sqrt[3]{729})=f(\sqrt[3]{27+27+\ldots +27})=$

$=f(\sqrt[3]{27})+\ldots +f(\sqrt[3]{27})=f(3)+\ldots+f(3)=1+\ldots+1=27

$

Сумма равна 27, поскольку там 27 слагаемых, ведь 729 - это 27 в квадрате.

Ответ: 27

1 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

параметры егэ (100б)...

(100б) инфа У исполнителя три команды, которым присвоены номера:1. прибавь 12. п...

На гранях игрального кубика написаны числа от 1 до 6. Однако вес кубика распред...

На столе лежит 220 внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно 110 фа...

Многочлен четвёртой степени равен квадрату своей второй производной. Известно, ч...

Функция f(x) определена для x > 0 и такова, что f(x) + f(y) = f(xy)(x+y). Изв...

обособляЮтся?...

Какой промежуток времени подразумевается, когда говорят: "идет 6 час"?...

какие памятники могут быть символами нашего города (питер)...

задание во вложении. пожалуйста, помогите, ребят, 9 класс...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social