mathgenius 1  cлучай:   a и b  одинаковых знаков ab>=0
Воспользуемся неравенством:  о  средних
(x+y)/2>=√xy
|ab|=ab<=(a^2+b^2)/2=1/2  2ab<=1
Преобразуем:
(a+b)^2-2ab=1
(a+b)^2=1+2ab<=2
Откуда
|a+b|<√2
    -√2<=a+b<=√2
ЧТД
2  cлучай: a и b разных  знаков.
Тут  уже поинтересней:
имеем:
a^2=1-b^2<=1  тк  b^2>0 
|a|<=1
Анологично 
|b|<=1
тк  одно  положительное другое отрицательное,то  можно сделать оценку:
0 <=a<=1
-1<=b<=0
Сложим эти сравнения:
  -1<=a+b<=1
А  значит  и верно  что
   -√2<a+b<√2  что  удовлетворяет рамкам неравенства.
тк √2>1
чтд
Заметим что равенство выполняется  когда a=b=+-1/2