tex]...

July 2022 1 66 Report

Помогите с решением 4 пределов, пожалуйста!

[tex]\mathtt{1)~\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3+7x-3}{6x^3-4x+3}}\\\mathtt{2)~\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x^2-2x-3}}\\\mathtt{3)~\lim_{x\to-3}\frac{\sqrt{x+10}-\sqrt{4-x}}{2x^2-x-21}}\\\mathtt{4)~\lim_{x\to \infty}(\frac{2x-1}{2x+1})^{3x}}[/tex]

Answers & Comments

phandersk $\mathtt{1)~\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3+7x-3}{6x^3-4x+3}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3(2+\frac{7}{x^2}-\frac{3}{x^3})}{x^3(6-\frac{4}{x^2}+\frac{3}{x^3})}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}$

$\mathtt{2)~\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x^2-2x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+1)}=\lim_{x\to3}\frac{3+3}{3+1}=\lim_{x\to3}\frac{6}{4}=1,5}$

$\mathtt{3)~\lim_{x\to-3}\frac{\sqrt{x+10}-\sqrt{4-x}}{2x^2-x-21}=\lim_{x\to-3}\frac{(\sqrt{x+10}-\sqrt{4-x})(\sqrt{x+10}+\sqrt{4-x})}{(2x^2-x-21)(\sqrt{x+10}+\sqrt{4-x})}=}\\\mathtt{\lim_{x\to-3}\frac{(\sqrt{x+10})^2-(\sqrt{4-x})^2}{(2x^2-x-21)(\sqrt{x+10}+\sqrt{4-x})}=\lim_{x\to-3}\frac{x+10-(4-x)}{(2x^2-x-21)(\sqrt{x+10}+\sqrt{4-x})}=}\\\mathtt{\lim_{x\to-3}\frac{2x+6}{(2x^2-x-21)(\sqrt{x+10}+\sqrt{4-x})}}$

"что делать дальше?" – спросишь ты, а я отвечу: нам необходимо разложить квадратный трёхчлен на множители, а для этого, собственно, надо найти его корни: $\mathtt{D=(-1)^2-4*2*(-21)=1+168=169}$ , соответственно, корни равны $\mathtt{x_1=3,5}$ и $\mathtt{x_2=-3}$ и, следовательно, квадратный трёхчлен можно разложить на множители: $\mathtt{(2x-7)(x+3)}$

$\mathtt{\lim_{x\to-3}\frac{2(x+3)}{(2x-7)(x+3)(\sqrt{x+10}+\sqrt{4-x})}=\lim_{x\to-3}\frac{2}{(2x-7)(\sqrt{x+10}+\sqrt{4-x})}=}\\\mathtt{\lim_{x\to-3}\frac{2}{(2*(-3)-7)(\sqrt{-3+10}+\sqrt{4-(-3)})}=\lim_{x\to-3}\frac{2}{-13*2\sqrt{7}}=-\frac{1}{13\sqrt{7}}}$

$\mathtt{4)~\lim_{x\to\infty}(\frac{2x-1}{2x+1})^{3x}=\lim_{x\to\infty}(1-\frac{2}{2x+1})^{3x}=\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{\frac{2x+1}{2}})^{3x}=}\\\mathtt{\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{\frac{2x+1}{2}})^{-\frac{2x+1}{2}*(-\frac{2}{2x+1})*3x}=e^{\lim_{x\to\infty}-\frac{6x}{2x+1}}=e^{\lim_{x\to\infty}-\frac{6*x}{x(2+\frac{1}{x})}}=}\\\mathtt{e^{\lim_{x\to\infty}-\frac{6}{2+\frac{1}{x}}}=e^{\lim_{x\to\infty}-\frac{6}{2}}=e^{-3}}$