Возведём обе части в куб

При решении была применена формула не в таком виде

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

а в виде

(a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)

Verified answer

Пусть:

(24+ x^(1/2) )^(1/3)=a    (ОДЗ x>=0)

(5+ x^(1/2) )^(1/3)=b

Получаем систему:

a-b=1 (a=1+b)

a^3-b^3=19=(a-b)*(a^2+ab+b^2) (формула разность кубов)

1)a^2+ab+b^2=19/(a-b)=19/1=19

(a-b)^2=1 (возводим в квадрат)

2)a^2-2ab+b^2=1

Вычитаем  из   уравнения 1)    уравнение 2)

3ab=18

ab=6

b*(1+b)=6  ( тк a=1+b)

b^2+b-6=0

b1=2

b2=-3  (теорема Виета)

1)  (5+ x^(1/2) )^(1/3)=2

5+ x^(1/2)=8

x^(1/2)=3

x=9

2) (5+ x^(1/2) )^(1/3)=-3

5+ x^(1/2)=-27

x^(1/2)=-32<0  (невозможно)

Ответ: x=9