Сразу начну с доказательства последнего равенства.

2)Очевидно, что

sin(4pi/5)=sin(pi-pi/5)=sin(pi/5)

2*sin(2*pi/5)*cos(2pi/5)=sin(pi/5)

4*sin(pi/5)*cos(pi/5)*cos*(2pi/5)=sin(pi/5).

4*cos(pi/5)*cos(2*pi/5)=1

cos(pi/5)*cos(2*pi/5)=1/4

Заметим что: cos(2*pi/5)=cos(pi -3pi/5)=-cos(3pi/5)

Откуда: cos(pi/5)*cos(3pi/5)=-1/4

ЧТД.

1)

a) sin^4(x)+cos^4(x)= (sin^2(x)+cos^2(x))^2 --2*sin^2(x)*cos^2(x)= 1-2*(1/2 *sin2x)^2=1-1/2 *sin^2(2x)

Очевидно что: sin^2(2x)<=1

-1/2*sin^2(2x)>=-1/2

1-1/2*sin^2(2x)>=1-1/2=1/2

Вывод: sin^4(x)+cos^4(x)>=1/2

2) sin^4(x)-6sin^2(x)+5

По теореме Виета очевидны корни биквадратного уравнения .(sin^2(x)=t)

t1=1

t2=5

sin^4(x)-6sin^2(x)+5= (sin^2(x)-1)*(sin^2(x)-5)=

(1-sin^2(x))*(4+1-cos^2(x))=

cos^2(x)*(4+cos^2(x))>=0 (тк квадрат число неотрицательное)

Вывод:

sin^4(x)-6sin^2(x)+5>=0

В условии ошибка должно быть строгое неравенство! Достигается когда: cos^2(x)=0, то есть sin^2(x)=1

в) cos(pi+arcsin(x) )

cos(pi+arcsin(x))=-cos(arcsin(x))

Заметим, что область значений arcsin(x) ограничено промежутком:

[-pi/2;pi/2] очевидно ,что косинус от аргумента находящегося на данном промежутке не отрицателен(косинус четная функция).

Тогда сos(arcsin(x))>=0.

-cos(arcsin(x))<=0

Вывод: cos(pi+arcsin(x) )<=0 (и снова ошибка неравенство должно быть строгим!) Выполняется когда x=+-1