Тогда, взяв произвольный , найдём такой номер , что для будет выполнено
Обозначим
Требуется доказать, что
Во первых ясно, что
Очевидно, что числа лежат в интервале при
Тогда и
В самом деле, при
Складывая эти неравенств и деля полученное на положительную величину
Итак, при
Тогда можно записать, что при таких
, где
Отсюда
Теперь используем известное неравенство :
Легко видеть, что при
1)
Кроме того, что так как последовательности и - бесконечно малые, найдутся такие и , что при будет
2)
а при будет
и отсюда, учитывая что получаем что при таких n выполнено неравенство
3)
Если теперь в качестве взять наибольшее из чисел , то при будут выполняться одновременно неравенства 1), 2), 3) и складывая их получаем
Что и требовалось доказать.
Я хочу спать, поэтому в доказательстве вполне могут найтись опечатки, а то и вовсе логические ошибки. Ну что же поделаешь. Проверьте всё хорошенько и если у вас возникнут вопросы - задавайте.
Доказательство для случая бесконечного предела можно провести похожим образом.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
Объяснение:
Предположим сначала, что .
Тогда, взяв произвольный , найдём такой номер , что для будет выполнено
Обозначим
Требуется доказать, что
Во первых ясно, что
Очевидно, что числа лежат в интервале при
Тогда и
В самом деле, при
Складывая эти неравенств и деля полученное на положительную величину
Итак, при
Тогда можно записать, что при таких
, где
Отсюда
Теперь используем известное неравенство :
Легко видеть, что при
1)
Кроме того, что так как последовательности и - бесконечно малые, найдутся такие и , что при будет
2)
а при будет
и отсюда, учитывая что получаем что при таких n выполнено неравенство
3)
Если теперь в качестве взять наибольшее из чисел , то при будут выполняться одновременно неравенства 1), 2), 3) и складывая их получаем
Что и требовалось доказать.
Я хочу спать, поэтому в доказательстве вполне могут найтись опечатки, а то и вовсе логические ошибки. Ну что же поделаешь. Проверьте всё хорошенько и если у вас возникнут вопросы - задавайте.
Доказательство для случая бесконечного предела можно провести похожим образом.