tex]...

July 2022 1 39 Report

последовательность
[tex] \{x_n \}[/tex]
определяется рекуррентным соотношением
[tex]x_{n + 2} = \frac{x_n + x_{n + 1} }{2} [/tex]
при n≥1 и начальным условием
[tex]x_1 = a \: \: and \: \: x_2 = b[/tex]
Найдите
[tex] \lim \limits _{n \rightarrow \infty}x_ n[/tex]

Answers & Comments

Guerrino

Введем координатную прямую с началом в точке 0, точки a и b (пусть b>a) и кузнечика, сидящего в точке 0. Каждый раз он будет прыгать в точку, соответствующую следующему члену. Сначала он прыгнет в середину отрезка (a, b). Затем он прыгнет в середину правой середины, затем в середину левой середины и так далее. Пусть $b-a=s$ , тогда модуль длины n-ого прыжка кузнечика будет равен $\frac{s}{2^n}$ ; Теперь можем считать: $a+\frac{s}{2}+\underbrace{\frac{s}{4}-\frac{s}{8}}_{\frac{s}{8} }+\underbrace{\frac{s}{16}-\frac{s}{32}}_{\frac{s}{32}}+...=a+\frac{s}{2}+s\times\frac{\frac{1}{8} }{1-\frac{1}{4} }=a+\frac{s}{2}+\frac{s}{6}$ ; В итоге: $a+\frac{s}{2}+\frac{s}{6}=a+\frac{b-a}{2}+\frac{b-a}{6}=\frac{a+2b}{3}$ . Если же a>b, то предел равен $\frac{b+2a}{3}$