dim10102806
Ответ правильный, но решено подстановкой, а надо без нее
wejde
Можно попробовать на множители разложить, но уж больно не люблю этот способ.
dim10102806
Я знаю, как гораздо легче, но мне не дают ответить
dim10102806
(х+2)(х+3)(х+8)(х+12)≤4х^2 Для того, чтобы решить данное неравенство, сначала решим уравнение (х+2)(х+3)(х+8)(х+12)=4х^2 ((х+2)(х+12)) ((х+3)(х+8))=4х^2 (х^2+14х+24)(х^2+11х+24)=4х^2 При х=0 уравнение не имеет смысла, тогда можем разделить обе части на х^2 (х^2+14х+24)(х^2+11х+24)/хх=4х^2/х^2 (х+14+24/х)(х+11+24/х)=4 Введем замену: х+11+24/х=t (t+3)t=4 t^2+3t-4=0 По теореме Виета, t1+t2=-3, t1*t2=-4;
t={-4;1} Вернёмся к замене:
х+11+24/х=-4, х+11+24/х=1;
х+24/х+15=0, |*х х+24/х+10=0; |*х
х^2+15х+24=0, (1) х^2+10х+24=0; (2)
1) х^2+15х+24=0 Д=225-96=129
х1=(-15-√129)/2, х2=(-15+√129)/2;
2) х^2+10х+24=0 По теореме Виета, х1+х2=-10, х1*х2=24;
х1=-6, х2=-4;
Тогда уравнение (х+2)(х+3)(х+8)(х+12)=4х^2 равносильно уравнению (х+(-15-√129)/2)(х+6)(х+4)(х-(-15+√129)/2)=0
Answers & Comments
Verified answer
(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)≤4x²(x²+3x+2x+6)(x²+12x+8x+96)≤4x²
(x²+5x+6)(x²+20x+96)≤4x²
x⁴+20x³+96x²+5x³+100x²+480x+6x²+120x+576≤4x²
(x⁴)+(20x³+5x³)+(96x²+100x²+6x²-4x²)+(480x+120x)+576≤0
x⁴+25x³+198x²+600x+576≤0
x=-4
x⁴+25x³+198x²+600x+576|x+4
x⁴+4x³ x³+21x²+114x+144
21x³+198x²+600x+576
21x³+84x²
114x²+600x+576
114x²+456x
144x+576
144x+576
0
(x+4)(x³+21x²+114x+144)≤0
x³+21x²+114x+144=0
x=-6
x³+21x²+114x+144|x+6
x³+6x² x²+15x+24
15x²+114x+144
15x²+90x
24x+144
24x+144
0
(x+4)(x+6)(x²+15x+24)≤0
x²+15x+24=0
D=15²-4*24=225-96=129
x₁=(-15+√129)/2
x₂=(-15-√129)/2
(x+4)(x+6)(x-((-15+√129)/2))(x-((-15-√129)/2))≤0
√121<√129<√144 ⇒ 11<√129<12 ⇒ √129≈11,3
(-15+11,3)/2=-1,85
(-15-11,3)/2=-13,15
//////////////// ////////////////
+ - + - +
________.________.________.________.________
(15-√129)/2 -6 -4 (-15+√129)/2
x∈[(15-√129)/2;-6]U[-4;(-15+√129)/2]
Для того, чтобы решить данное неравенство, сначала решим уравнение
(х+2)(х+3)(х+8)(х+12)=4х^2
((х+2)(х+12)) ((х+3)(х+8))=4х^2
(х^2+14х+24)(х^2+11х+24)=4х^2
При х=0 уравнение не имеет смысла, тогда можем разделить обе части на х^2
(х^2+14х+24)(х^2+11х+24)/хх=4х^2/х^2
(х+14+24/х)(х+11+24/х)=4
Введем замену: х+11+24/х=t
(t+3)t=4
t^2+3t-4=0
По теореме Виета, t1+t2=-3,
t1*t2=-4;
t={-4;1}
Вернёмся к замене:
х+11+24/х=-4,
х+11+24/х=1;
х+24/х+15=0, |*х
х+24/х+10=0; |*х
х^2+15х+24=0, (1)
х^2+10х+24=0; (2)
1) х^2+15х+24=0
Д=225-96=129
х1=(-15-√129)/2,
х2=(-15+√129)/2;
2) х^2+10х+24=0
По теореме Виета, х1+х2=-10,
х1*х2=24;
х1=-6,
х2=-4;
Тогда уравнение (х+2)(х+3)(х+8)(х+12)=4х^2 равносильно уравнению (х+(-15-√129)/2)(х+6)(х+4)(х-(-15+√129)/2)=0
Значит, неравенство (х+2)(х+3)(х+8)(х+12)≤4х^2 равносильно неравенству (х+(-15-√129)/2)(х+6)(х+4)(х-(-15+√129)/2)≤0
Методом интервалов находим решения:
х принадлежит [(-15-√129)/2 ; -6] U [-4 ; (-15+√129)/2]
Ответ: [(-15-√129)/2 ; -6] U [-4 ; (-15+√129)/2]