F(x)=[tex]\frac{x^{5} }{5} -\frac{x^{4} }{4} +\frac{x^{3} }{3} +\frac{x^{2} }{2} -2x+1[/tex][tex](a;a+\frac{1}{3} )[/tex]. Created by Shinimini. algebra-ru

Ну указывает на то, что надо бы производную брать для исследования этой функции, ибо она красивая получается.Далее, для исследования исходной функции на возрастание/убывание необходимо найти нули производной, то есть Сумма коэффициентов в уравнении равно 0, значит, x=1 - кореньПопробуем разложить выражение, заранее зная корень.Теперь нужно проанализировать правую скобку Сумма коэффициентов при четных (2) и нечетных (1+1=2) степенях равна, значит, x=-1 - корень. Осталась последняя скобка в разложении, найдем дискриминант уравнения при любых х.Итоговое разложение Нули производной известны, это Везде при х коэффициент равен 1 (у правой скобки нет нулей, её мы считаем просто каким-то положительным числом), значит, в самом правом промежутке "+", а дальше чередование.Имеем при возрастание , а при убывание , - точка локального максимума, - точка локального минимума.Убывание должно быть на интервале , поэтому если параметр захватит точки экстремума - ничего страшного, интервал как раз не включает концы.С одной стороны, , как раз при убывание на выполняется.С другой стороны, , при убывание продолжается вплоть до x=1, не включая эту точку. Объединяя наши условия, получаем Ответ:

tex]...

Shinimini @Shinimini

July 2022 1 6 Report

F(x)=[tex]\frac{x^{5} }{5} -\frac{x^{4} }{4} +\frac{x^{3} }{3} +\frac{x^{2} }{2} -2x+1[/tex]

[tex](a;a+\frac{1}{3} )[/tex]

Answers & Comments

ArtemCoolAc

Ну $\frac{x^n}{n}$ указывает на то, что надо бы производную брать для исследования этой функции, ибо она красивая получается.

$f'(x)=x^4-x^3+x^2+x-2;$

Далее, для исследования исходной функции на возрастание/убывание необходимо найти нули производной, то есть $f'(x)=0;$

$x^4-x^3+x^2+x-2=0;$

Сумма коэффициентов в уравнении равно 0, значит, x=1 - корень

Попробуем разложить выражение, заранее зная корень.

$x^4-x^3+x^2+x-2=x^4-x^3+x^2-x+2x-2=\\ =x^3(x-1)+x(x-1)+2(x-1)=(x-1)(x^3+x+2)$

Теперь нужно проанализировать правую скобку $x^3+x+2=0;$

Сумма коэффициентов при четных (2) и нечетных (1+1=2) степенях равна, значит, x=-1 - корень. $x^3+x+2=x^3+x^2-x^2-x+2x+2=x^2(x+1)-x(x+1)+2(x+1)=\\ =(x+1)(x^2-x+2)$

Осталась последняя скобка в разложении, найдем дискриминант уравнения

$x^2-x+2=0; D=(-1)^2-4*1*2=1-8=-70$ при любых х.

Итоговое разложение $f'(x)=(x-1)(x+1)(x^2-x+2)$

Нули производной известны, это $x=\pm1$

Везде при х коэффициент равен 1 (у правой скобки нет нулей, её мы считаем просто каким-то положительным числом), значит, в самом правом промежутке "+", а дальше чередование.

Имеем при $\boxed {x \in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)}$ возрастание $f(x)$ , а при $\boxed {x\in(-1;1)}$ убывание $f(x)$ ,

$x=-1$ - точка локального максимума,

$x=1$ - точка локального минимума.

Убывание должно быть на интервале $(a; a+\frac{1}{3})$ , поэтому если параметр захватит точки экстремума - ничего страшного, интервал как раз не включает концы.