Решить уравнение: [tex]tg^{3} 2x+ctg^{3} 2x+6sin^{-1} 2x=8sin^{-3} 4x.[/tex]. Created by OblivionFire. algebra-ru

tex]...

OblivionFire @OblivionFire

July 2022 1 83 Report

Решить уравнение: [tex]tg^{3} 2x+ctg^{3} 2x+6sin^{-1} 2x=8sin^{-3} 4x.[/tex]

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

$\mathrm{tg}^32x+\mathrm{ctg}^32x+6\sin^{-1}2x=8\sin^{-3}4x$

Избавимся для удобства от отрицательных показателей степеней:

$\mathrm{tg}^32x+\mathrm{ctg}^32x+\dfrac{6}{\sin2x} =\dfrac{8}{\sin^34x}$

Отметим ОДЗ. Оно сводится к двум условиям:

$\boxed{\sin2x\neq 0;\ \cos2x\neq 0}$

Представим тангенс и котангенс в виде отношений:

$\dfrac{\sin^32x}{\cos^32x}+\dfrac{\cos^32x}{\sin^32x}+\dfrac{6}{\sin2x} =\dfrac{8}{(\sin4x)^3}$

В левой части находим сумму двух дробей, а в правой части применяем формулу синуса двойного угла:

$\dfrac{\sin^62x+\cos^62x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x} =\dfrac{8}{(2\sin2x\cos2x)^3}$

В числителе первой дроби применяем формулу суммы кубов, знаменатель правой части возводим в куб:

$\dfrac{(\sin^22x+\cos^22x)(\sin^42x+\cos^42x-\sin^2x\cos^22x)}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x} =\dfrac{8}{8\sin^32x\cos^32x}$

Числитель первой дроби упрощается благодаря тригонометрической единице, дробь в правой части сокращается:

$\dfrac{\sin^42x+\cos^42x-\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}$

В числителе первой дроби выполняем искусственные преобразования для выделения полного квадрата:

$\dfrac{\sin^42x+\cos^42x+2\sin^2x\cos^22x-3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}$

И выделяем полный квадрат:

$\dfrac{(\sin^22x+\cos^22x)^2-3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}$

Вновь получена тригонометрическая единица:

$\dfrac{1-3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}$

Переносим все слагаемые в левую часть и выполняем упрощения:

$\dfrac{1-3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}-\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}=0$

$\dfrac{1-3\sin^2x\cos^22x-1}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=0$

$-\dfrac{3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=0$

$-\dfrac{3}{\sin2x\cos2x}+\dfrac{6}{\sin2x}=0$

$-\dfrac{3}{\cos2x}+6=0$

$\dfrac{3}{\cos2x}=6$

$\cos2x=\dfrac{1}{2}$

$2x=\pm\dfrac{\pi }{3}+2\pi n$

Заметим, что ни синус ни косинус угла $2x$ не обращается в ноль. Следовательно, ОДЗ выполняется.

Записываем ответ:

$\boxed{x=\pm\dfrac{\pi }{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

5 votes Thanks 4

iintelek5 эмм как

Answers & Comments

Verified answer

e26a5c15e045cd1d3ae9596d1ed28e18

f0c724033e52b9c03831324fc7672841

3b5e3bcb498e75c2771a1176ae332968

tex 649a737b8cf00

20 5 6474a77351405

kio 65 i 0635

tex]

tex]

4 135 63a53a4f7c5cb

tex]

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social