tex] вписать прямоугольник со сторонами,параллельными осям эллипса,площадь котор...

July 2022 1 14 Report

в эллипсе [tex] \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 [/tex] вписать прямоугольник со сторонами,параллельными осям эллипса,площадь которого наибольшая.

помогите пожалуйста

Answers & Comments

Матов

Verified answer

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , пусть $(x';y')$ координаты вершины $A$ , прямоугольника $ABCD$ .
Если прямоугольник вписан в эллипс , то выполняется условие
$\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1\\
x'^2b^2+a^2y'^2=a^2b^2\\
y'^2=\frac{a^2b^2-x'^2b^2}{a^2}\\
 
$
Тогда площадь прямоугольника равна $S=2x'*2y'=4x'y'
$ это не производные .
$x'=x\\
y'=y\\\\
S=4xy\\
 y^2=\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}\\\\
 S=4*\sqrt{\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}}*x$
Теперь рассмотрим данную функцию очевидно что $a>b>y>x>0$ .
Найдем производную
$S'=4*\sqrt{\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}}*x \\
 S'=\frac{ (8x^2-4a^2) * \sqrt{a^2b^2-b^2x^2} }{ax^2-a^3}\\
 S'=0\\
 8x^2=4a^2\\
 x= \frac{a}{\sqrt{2}}\\
 a^2b^2 \geq b^2x^2\\
 a^2 \geq x^2 \\
 a \neq x\\

$
То есть одна сторона прямоугольника равна $2*\frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}*a\\
$
тогда другая $\sqrt{2}b$ .
То есть самая наибольшая площадь которую можно вписать в данный эллипс равен
$S=2ab$

2 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

reshite pozhalujsta podrobnoochen srochnopozhalujsta

vtoraya cifra shestnadcaterichnogo chetyrehznachnogo chisla ravna pyati pervuyu cifru

osnovanie pozicionnoj sistemy schisleniya x pri kotorom 104h 555u ravnopo

texnajti vtoruyu proizvodnuyupozhalujsta

sin x cos x04najti proizvedeniya sin xcos x

texesli mozhno podrobno resheniepotomu chto sama reshila poluchaetsya kakoj to bred

dany tochki abc tak chto abbc35 nuzhno opredelit sootnoshenie abac esli mo

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social