Verified answer

Задача показалась мне интересной, и я её немного обобщил. Пусть вписанная окружность делит медиану, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе, в отношении к:(1 - к). В условии задачи к = 2/3.

Обозначим a и b - катеты, с - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности. 

Проще всего составить необходимые уравнения, воспользовавшись уравнением окружности. Далее я покажу, как эти соотношения элементарно получаются и без координатных методов. 

Расположим катеты вдоль координатных осей так, что вершина прямого угла  - вначале координат (0,0), а вершины гипотенузы - в точках (а,0) и (0,b). Тогда точка пересечения К медианы и вписанной окружности (их 2, нас интересует, очевидно, та, что ближе к гипотенузе) лежит на прямой y = (b/a)*x; основание медианы - это середина гипотенузы, то есть точка с координатами (a/2,b/2), а координаты точки К (k*a/2; k*b/2) (в условии задачи это (a/3,b/3))

Уравнение вписанной окружности

(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2;

кроме того, есть известное соотношение в прямоугольном треугольнике

a + b - c = 2*r;

Подставим (x,y) = (k*a/2; k*b/2) в уравнение окружности.

(k*a/2 - r)^2 + (k*b/2 - r)^2 = r^2;

(на самом деле это соотношение для точки К можно выписать сразу, исходя из теоремы Пифагора, а все предыдущие "методические" приемы просто опустить :) достаточно построить прямоугольный треугольник, проведя радиус из центра вписанной окружности О в точку К, и прямые II катетам исходного тр-ка из концов этого радиуса (то есть из точек О и К) до пересечения. Полученные катеты этого треугольника очевидно равны (k*a/2 - r) и (k*b/2 - r), - в условии задачи (a/3 - r) и (b/3 - r), а гипотенуза - r)

Имеем далее

k^2*(a^2 + b^2)/4 - k*(a + b)*r +r^2 = 0;

Подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2;

k^2*c^2/4 - k*r*(2*r + c) +r^2 = 0;  

r^2*(1-2*k) - k*c*r + (k^2/4)*c^2 = 0; 

Теперь введем x = r/c.

x^2*(1-2*k) - k*x + (k^2/4) = 0; x^2 + x*k/(2*k - 1) - k^2/(4*(2k-1)) = 0;

x = - k/(2*(2*k - 1)) + корень((k/(2*(2*k - 1)))^2 + k^2/(4*(2k-1))) = 

= - k/(2*(2*k - 1)) + k/(2*(2*k - 1))*корень(1 + (2k-1));

(.... НО только если k > 1/2. Вот именно для этого я и обозначил k = 2/3. Если k < 1/2, решения нет. Ну, в задаче это выполнено - k = 2/3 > 1/2. Замечу также, что второй корень отрицательный, поэтому отброшен.)

x = k/(2*(2*k - 1))(корень(2*k) - 1);

в частности при k = 2/3, как в задаче, x = 2*корень(3)/3 -1;

таким образом, мы нашли r/c = x = 2*корень(3)/3 -1; дальше ищем углы в этом случае. 

поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; то

sin(A) + cos(A) = 4*корень(3)/3 -1; это уравнение для А решается очень легко - достаточно возвести в квадрат обе стороны:))

1 + sin(2*A) = (4*корень(3)/3 -1)^2;

sin(2*A) = (2 - корень(3))*8/3; A = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3);

Это можно считать ответом. Приближенно sin(2*A) = 0,714531179816328. Интересно, что 2*А получилось почти точно 45 градусов, точнее 2*А = 45,6047908137106 градусов.

Вернусь еще раз к задаче. Приведу решение в сжатом виде при k = 2/3. Всё, что надо понять - что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 и b/3 - и сразу получается соотношение.

(a/3 - r)^2 + (b/3 - r)^2 = r^2; 

(a^2 + b^2)/9 - 2*r*(a + b)/3 + r^2 = 0;

Подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2;

c^2/9 - 2*r*(2*r + c) + r^2 = 0;

r^2 + 2*r*c - c^2/3 = 0; Обозначаем r/c = x;

x^2 + 2*x - 1/3 = 0; (x+1)^2 = 4/3; x = 2*корень(3)/3 -1;

поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; то

sin(A) + cos(A) = 4*корень(3)/3 -1; возводим в квадрат обе стороны

1 + sin(2*A) = (4*корень(3)/3 -1)^2;

sin(2*A) = (2 - корень(3))*8/3;

A = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3);