Мощность выделяемая в цепи чайника равна [tex]U^2/R[/tex]

Для закипания чайника (без теплопотерь) требуется фиксированное количество теплоты, обозначим его [tex]Q[/tex]

Теплопотери пропорциональны времени процесса, пусть коэффициент этой пропорциональности равен [tex]k[/tex]

Соответственно, в общем случае уравнение теплового баланса при закипании чайника имеет вид

[tex]\displaystyle \frac{U^2}{R}\tau = Q + k\tau[/tex] где нам будут известны только [tex]U[/tex] и [tex]\tau[/tex] а именно

[tex]\displaystyle \frac{U_1^2}{R}\tau_1 = Q+k\tau_1\\\\\frac{U_2^2}{R}\tau_2 = Q+k\tau_2[/tex]

А найти нам надо [tex]\tau_3[/tex] из похожено уравнения

[tex]\displaystyle \frac{U_3^2}{R}\tau_3 = Q+k\tau_3\\\\\frac{1}{\tau_3} = \frac{U_3^2/R-k}{Q}[/tex]

Это небольшой но крайне удобный алгебраический трюк - искать будем величину, обратную [tex]\tau_3[/tex], чтобы у дроби был простой знаменатель. Так же поступим и с исходными двумя строчками:
[tex]\displaystyle\frac{1}{\tau_1} = \frac{U_1^2}{RQ}-\frac{k}{Q}\\\\\frac{1}{\tau_2} = \frac{U_2^2}{RQ}-\frac{k}{Q}\\\\[/tex]
Если мы вычтем эти строки, получим
[tex]\displaystyle \frac{1}{\tau_1}-\frac{1}{\tau_2} = \frac{1}{RQ}(U_1^2-U_2^2)\\\\\frac{1}{RQ} = \left(\frac{1}{\tau_1}-\frac{1}{\tau_2}\right):(U_1^2-U_2^2)[/tex]

а если первую умножим на [tex]U_2^2[/tex], вторую на [tex]U_1^2[/tex] и тогда вычтем, получим

[tex]\displaystyle\frac{U_2^2}{\tau_1}-\frac{U_1^2}{\tau_2} = \frac{k}{Q}(U_1^2-U_2^2)\\\\\frac{k}{Q} = \left(\frac{U_2^2}{\tau_1}-\frac{U_1^2}{\tau_2}\right):(U_1^2-U_2^2)[/tex]

Это нам пригодится в формуле для [tex]1/\tau_3[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{\tau_3} = \frac{U_3^2}{RQ}-\frac{k}{Q} =\\\\\frac{1}{U_1^2-U_2^2}\left(U_3^2\left(\frac{1}{\tau_1}-\frac{1}{\tau_2}\right)-\frac{U_2^2}{\tau_1}+\frac{U_1^2}{\tau_2}\right) = \frac{1}{U_1^2-U_2^2}\left(\frac{U_3^2-U_2^2}{\tau_1}+\frac{U_1^2-U_3^2}{\tau_2}\right)\\\\\tau_3 =( U_1^2-U_2^2):\left(\frac{U_3^2-U_2^2}{\tau_1}+\frac{U_1^2-U_3^2}{\tau_2}\right)[/tex]

Если подставить числа получится примерно 65 минут