Участники одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 73 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших — 79. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших — 79. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
а) Да, например, первый набрал 100 баллов, второй 70, третий – 10. Средний балл, не сдавших тест, первоначально был (70+10)/2 = 40, а после добавления по 5 очков каждому участнику стало 105, 75 и 15, тогда средний балл, не сдавших тест, составил 15, так как 75 достаточно для сдачи теста.
б) В примере предыдущего пункта средний балл участников теста, сдавших тест, сначала был 100 баллов, а после добавления стал (105+75)/2 = 90 баллов.
в) Судя по условию, здесь немного другое условие. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал 83 балла.
Пусть из N участников сдали тест a участников, после добавления стало b участников, сдавших тест. Заметим, что средний балл после добавления составил (90N + 5N)/N = 95.
Имеем два уравнения:
{ 90N = 75(N - a) + 100a = 75N - 75a + 100a = 75N + 25a
{ 95N = 79(N - b) + 103b = 79N - 79b + 103b = 79N + 24b
откуда
{ 15N = 25a, то есть 3N = 5a
{ 16N = 24b, то есть 2N = 3b
Таким образом, N кратно 15, потому что делится на 3 и на 5.
Покажем, что минимальное N = 15. Пусть изначально 5 участников набрали по 74 балла, 1 участник — 80 баллов и 9 участников по 100 баллов.
Тогда средний балл был (5*74+80+9*100)/15 = 1350/15 = 90, средний бал сдавших тест, был 100, а средний балл не сдавших тест, был (5*74+80)/6 = 450/6 = 75.
После добавления стало: 5 участников по 79 баллов, 1 участник — 85 баллов и 9 участников по 105 баллов.
Теперь средний балл участников всех участников стал (5*79+85+9*105)/15 = 1425/15 = 95, средний балл сдавших тест, стал равен (85+9*105)/15 = 1030/10 = 103, средний балл не сдавших тест, стал равен 79.
Таким образом, все условия выполнены.