Благодарю за интересную задачу!)

Осевое сечение – прямоугольный равнобедренный треугольник. Радиус вписанной в него окружности по условию равен (3√2 – 3).

Тогда катеты этого треугольника (образующие конуса) равны 6*(√2-1)/(2 - √2).

Гипотенуза этого треугольника (диаметр основания конуса) равна (12 - 6√2)/(2 - √2),

Радиус основания конуса равен половине гипотенузы, т.е. (6-3√2)/(2-√2).

Высота, выведенная из прямого угла (высота конуса) равна (6√2-6)/(2√2-2).

И, наконец, объем конуса равен 1/3*π*(6√2-6)/(2√2-2)* (6-3√2)²/(2-√2)² = 9π.

Ответ: 9π