Verified answer

Простые множители, на которые раскладывается натуральное число, могут повторяться. В таких случаях, для удобства, часто записывают разложение с помощью степеней.

Показатель степени показывает, сколько раз множитель встречается в разложении.

Так вот, любое натуральное число n имеет каноническое разложение на простые множители:  

Смысл здесь в том, что простой множитель p₁ встречается a₁ раз, простой множитель p₂ встречается a₂ раз и т.д.

При этом существует формула нахождения количества делителей натурального числа:

У натурального числа, которое мы ищем, 30 делителей.

Это значит,

.

Определив, при умножении каких чисел можно получить 30, мы получим разные варианты содержимого скобок, а отсюда и разные варианты показателей степеней в разложении.  

     1. Рассмотрим первый вариант:

Значит, имеем:

При а₁ + 1 = 6,    а₁ = 5

При а₂ + 1 = 5,    а₂ = 4

Эти показатели могут быть расставлены в любом порядке:

,

.

Но нам нужно получить наименьшее натуральное число, а значит, мы стремимся к тому, чтобы у меньших множителей был больший показатель степени. Так что показатели должны идти по убыванию.

     2 вариант:

а₁ = 9,

а₂ = 2.

В таком случае разложение выглядит так:

     3 вариант:

а₁ = 14,

а₂ = 1.

     4 вариант:

а₁ = 29,

а₂ = 0.

     5 вариант:

а₁ = 4,

а₂ = 2,    

а₃ = 1

Нам нужно найти наименьшее n, простые множители которого нечетны.  

Поэтому в каждом варианте вместо p нужно проставить по возрастанию простые нечетные числа, начиная с самого маленького.

Наименьшее простое нечетное число — это 3, поэтому имеем:

1)

2)

3)

4)

5)        

Наименьшим будет пятое число.

— наименьшее натуральное число, у которого 30 нечетных делителей.

Ответ: 14175