Ответ:

Нужно осторожно продвигаясь вперёд искать.

Сказуемое "нужно искать" - составное глагольное.

Объяснение:

Составное глагольное сказуемое состоит из вспомогательного слова (выражает грамматическое значение) и неопределённой формы глагола (выражает лексическое значение).

В роли вспомогательного глагола выступают:

1. глаголы, обозначающие начало, продолжение и конец действия  (начать, закончить, продолжить и т.п.)

Например: Я начал учить английский язык.

2. модальные глаголы (хотеть,  мочь,  желать и т.д.)

Например: Я хочу учить английский язык.

3. глаголы, выражающие эмоциональное состояние/чувства  (любить,  бояться,  стесняться и т.д.)

Например: Я стесняюсь спросить...

4. безличные глаголы  типа следует,  требуется и т.п.

Например: Тебе следует лучше учить английский язык.

5. слова состояния  можно, нельзя, надо.

6. КРАТКОЕ ИМЯ ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ

Например: Нужно учить английский язык.